D182. Quatre théorèmes pour quatre triangles
Solution proposée par Philippe Bertran
Soient A, B, C, D, E, F les 6 points et O1, O2, O3, O4 les centres des cercles circonscrits respectivement aux triangles AEC, ABF, BCD, DEF.
1er théorème
Appelons P l’intersection des cercles circonscrits à AEC et ABF.
(ED, EP) = (EC, EP) = (AC, AP) = (AB, AP) = (FB, FP) = (FD, FP) [mod π]
L’égalité des angles (ED, EP) et (FD, FP) entraîne que D, E, F et P sont cocycliques donc que P appartient au cercle circonscrit à DEF.
De la même façon, on démontre que P appartient aussi au cercle circonscrit à BCD.
Les cercles circonscrits aux quatre triangles contiennent dont tous le point P.
2 2e théorème
- Démontrons d’abord que O1, O2, O3 et O4 sont cocycliques.
Remarquons que O1 étant le centre du cercle circonscrit à AECP et O2 étant le centre du cercle circonscrit à ABFP, O1 et O2 appartiennent à la médiatrice de AP. Donc :
(O1O2, PA) = π/2 [mod π] et, de même : (O2O3, PB) = π/2 [mod π]
(O1O3, PC) = π/2 [mod π]
(O3O4, PD) = π/2 [mod π]
(O1O4, PE) = π/2 [mod π]
(O2O4, PF) = π/2 [mod π]
La 1e et la 3e de ces égalités entraînent (égalité des angles dont les côtés sont perpendiculaires) que : (O1O2, O1O3) = (PA, PC) [mod π] (1)
D’autre part, ACEP cocycliques implique (PA, PC) = (EA, EC) [mod π], c'est-à-dire (PA, PC) = (EF, ED) [mod π] (2)
Or, puisque DEFP sont cocycliques, (EF, ED) = (PF, PD) [mod π] (3).
Les égalités (1) à (3) montrent que (O1O2, O1O3) = (PF, PD) [mod π] (4).
On a vu par ailleurs que (O3O4, PD) = π/2 [mod π] et (O2O4, PF) = π/2 [mod π], ce qui entraîne (égalité des angles dont les côtés sont perpendiculaires) que :
(PF, PD) = (O2O4, O3O4) [mod π] (5).
Les égalités (4) et (5) entraînent que (O1O2, O1O3) = (O4O2, O4O3) [mod π]
donc que O1, O2, O3 et O4 sont cocycliques.
- Démontrons maintenant que P appartient au cercle O1O2O3O4.
Par la relation de Chasles, (PO2, PO3) = (PO2, PA) + (PA, PC) + (PC, PO3) (6) Or (PO2, PA) = π/2 – (1/2)(O2A, O2P) (somme des angles du triangle O2AP)
d’où (PO2, PA) = π/2 – (BA, BP) [mod π] (7) (angle au centre double de l’angle inscrit).
De même (PC, PO3) = π/2 – (1/2)(O3P, O3C) [mod π] (somme des angles du triangle O3CP) d’où (PC, PO3) = π/2 – (BP, BC) [mod π] (8) (angle au centre double de l’angle inscrit).
En reportant (7) et (8) dans (6) :
(PO2, PO3) = – (BA, BP) + (PA, PC) – (BP, BC) [mod π].
Compte tenu du fait que (BA, BP) + (BP, BC) = (BA, BC) = 0 [mod π], il reste : (PO2, PO3) = (PA, PC) [mod π], ce qui, compte tenu de (1), entraîne :
(PO2, PO3) = (O1O2, O1O3) [mod π]
3
donc P, O1, O2, O3 sont cocycliques. P appartient donc bien au cercle O1O2O3O4.
3e théorème
Ce théorème découle directement de la propriété classique selon laquelle les projections sur les trois côtés d’un triangle, d’un point du cercle circonscrit à ce triangle sont alignées (sur la « droite de Simson » relative à ce point) (Pour la démonstration, voir par exemple
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./s/simson.html)
P appartenant au cercle circonscrit à ABF, ses projections P1 sur (AB), P2 sur (BF) et P3 sur (AF) sont alignées.
P appartenant au cercle circonscrit à AEC, ses projections P3 sur (AE) qui est aussi (AF), P1 sur (AC) qui est aussi (AB) et P4 sur (EC) sont alignées.
Les projections P1, P2, P3, P4 sont donc alignées.
4e théorème
Soient A et D les deux points avec lesquels P est aligné.
A, E, C, P cocycliques implique (CA, CE) = (PA,PE) [mod π]
soit, puisque ADP alignés : (CA, CE) = (PD, PE) [mod π]
ou, puisque D, E, F, P cocycliques : (CA, CE) = (FD, FE) [mod π]
4 c'est-à-dire : (CA, CE) = (FB, FE) [mod π]
Or (CA, CE) = (CB, CE).
De ces deux dernières équations on déduit (CB, CE) = (FB, FE) [mod π], donc B, C, E, F sont cocycliques.
