D1954 – Le brocard de Zig [**** à la main]
Puce trace à main-levée dans un triangle acutangle les projections P,Q et R de l’orthocentre H sur les trois médianes AI,BJ et CK puis il trace les cercles circonscrits aux triangles
ABP,BCQ et CAR. Zig se moque de lui car sa construction est approximative et les trois cercles ne passent pas par un même point. Justifier le brocard de Zig.
Solution proposée par Bernard Vignes
Lemme : le cercle circonscrit au triangle ABP est tangent en B au côté BC.
Soient E et F les pieds des hauteurs issues de B et de C sur les côtés AC et AB.les cinq points A,E,P,H et F sont cocycliques (AH diamètre du cecrle sur leuel se trouvent les sommets E,F et P des angles droits de trois triangles rectangles).D'où AHE = APE. Or AHE
=BHL = 90° - CBE = ACB. Les quatre points C,E,P et I sont donc cocyliques. Donc
CEI = CPI. par ailleurs,comme BEC est un triangle avec I milieu de l’hypoténuse, on a
ACB = CEI. Donc CPI = ACB. Il en résulte que CBE + CPH = 90° - ACB + CPI + IPH = 90° - ACB + ACB + 90° = 180°. Les quatre points B,C,P et H sont donc cocyliques.D’où CBP = CHP = FAP = BAI. les triangles ABI et BPI sont donc semblables et l’on a AI/BI = BI/IP soit BI² = AI.IP et le cercle circonscrit à ABP est bien tnagnte en B au côté BC.
Même démonstration pout les cercles circonscrits à BCQ et CAR.
Les trois cercles circonscrits aux triangles ABP,BCQ et CAR dont donc respectivement tangents en B au côté BC, en C au côté CA et en A au côté AB. Ils passent par un même point qui est l’un des deux points de Brocard du triangle ABC. La figure ci-après fait apparaître les deux points de Brocard X₁ et X₂.
Le mode de construction des deux points de Brocard d’un triangle est décrit à l’adresse : https://fr.wikipedia.org/wiki/Figures_de_Brocard