A427 – Une ribambelle de carrés [*** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Soit un entier p ≥ 1. On cherche les entiers naturels distincts a et b tels que les six produits des entiers a,b,a + p et b + p pris deux à deux donnent le plus grand nombre possible m(p) de carrés
parfaits.Démontrer que : Q₁ m(p) > 1 quel que soit p.
Q₂ m(p) = 2 pour un nombre fini de valeurs de p.
Q₃ si m(p) > 3 alors m(p) = 6.
Q₄ il existe une infinité de valeurs de p telles que m(p) = 6. Déterminer le plus petit entier p et un couple (a,b) tel que m(p) = 6.
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁
On choisit a et b multiples de p de la forme a = xp et b = yp avec x et y entiers >0 de sorte que a(b+p)= x(y+1)p² et b(a+p)=y(x+1)p² sont des carrés parfaits. Il existe une infinité de couples (x,y) tels que x(y+1) et y(x+1) sont en même temps des carrés parfaits.Par exemple (x,y) = (1,8), (8,49),etc..
On peut aussi choisir a et b de sorte que ab=xyp² et (a+p)(b+p) = (x+1)(y+1)p² sont des carrés parfaits. D’où (x,y) = (1,49),(3,48),etc...
Dès lors quel que soit p, m(p)≥ 2.
Q₂
On va démontrer que :
1) Pour tout p distinct des trois valeurs 1,2 et 4, m(p)≥3 :
On considère la suite des carrés parfaits : 1,4,9,16,25,36,49,64,81,....Les différences des termes consécutifs donnent la suite des nombres impairs ≥ 3 : 3,5,7,9,11,.. et les
différences des termes de rang n,n+2,n+4,... donnent la suite des multiples de 4 de premier terme 8 : 8,12,16,20,24,...
Il en résulte que pour p impair ≥3 ou p de la forme p = 4q avec q≥ 2, il suffit de choisir deux carrés parfaits a et b , a > b, tels que a – b = p.Dès lors les produits ab,a(b+p) et b(b+p) sont des carrés parfaits et m(p)≥3.
Si p est de la forme p = 4q + 2 (nombre pair non multiple de 4) avec q≥ 1, on choisit b = a + p de telle sorte que ab est un carré parfait u². Il en résulte l’équation quadratique a² + pa - u² = 0 qui a des racines entières en a si p² + 4u² = 4v².D’où la solution donnée par 2v – 2u = 2 et 2v+2u = p²/2 = 8q²+8q+2. D’où v = 2q²+2q+1 et u = 2q²+2q, ce qui donne a = v – p/2 = 2q² et b = 2q²+4q+2 = 2(q+1)²
2) puis m(1) =m(2) = m(4) = 2 :
Si p = 1, alors a=1 et b=49 donnent ab = 49 = 7² et (a+1)(b+1) = 100= 10² Si p = 2, alors a=1 et b = 25 donnent ab = 25 = 5² et (a+2)(b+2) = 81 = 9² Si p = 4, alors a=1 et b = 5 donnent a(b+4) = 9 = 3² et (a+4)b = 5²
On a donc m(1),m(2),m(4)≥2
Pour p = 1,2 ou 4, quel que soit l’entier a > 0, les produits a(a+p) ne sont jamais des carrés parfaits. En effet l’équation quadratique en a : a² + pa – k² = 0 n’a pas de racines entières et le discriminant p² + 4k² prend les seules valeurs 4k²+1, 4k²+2 et 4(k²+1) qui ne sont jamais des carrés parfaits.
Il en résulte que les quatre produits susceptibles d’être des carrés parfaits sont
ab,a(b+p),b(a+p) et (a+p)(b+p) avec p =1,2 ou 4.On ne peut pas avoir simultanément les produits {ab, a(b+p)} ou {ab,b(a+p)} égaux à des carrés parfaits. Sinon, on aurait, par exemple, ab = x² et a(b+p) = y². D’où (b+p)/b = (y/x)² ou encore b(b+p) = (by/x)² et l’on aurait un équation quadratique comme supra sans solution entière pour p = 1 ou 2 ou 4.
De la même manière, on ne peut pas avoir simultanément les couples de carrés parfaits {a(b+p),(a+p)(b+p)} et {b(a+p),(a+p)(b+p)}. Sinon, on aurait a(b+p) = x² et
(a+p)(b+p)=y². D’où (a+p)/a = (y/x)² etc...
Pour p = 1,2 ou 4, les seuls couples de produits égaux à des carrés parfaits, sont de la forme {ab,(a+p)(b+p)} ou bien {a(b+p),b(a+p)}, c’est à dire m(p) = 2.
Q₃
Si m(p) > 3 ou encore m(p)≥4, quatre produits au moins sont des carrés parfaits et les deux derniers sont aussi des carrés parfaits.
Par exemple ab = u², b(a+p) = v², a(b+p) = w² et a(a+p)= x². D’où :
b(b+p) = v²/(a+p) *w²/a = (vw/x)²= carré d’un rationnel qui est nécessairement un entier = carré parfait
et
(a+p)(b+p) = v²/b*w²/a = (vw/u)² = carré d’un rationnel qui est nécessairement un entier = carré parfait.
On effectue le même type de calculs pour les C(6,2) =10 combinaisons possibles de 4 produits choisis parmi les six qui sont des carrés parfaits. Les cinquième et sixième produits s’obtiennent toujours en multipliant deux des quatre produits puis en divisant le résultat obtenu par l’un des deux autres produits. Le quotient est le carré d’un
rationnel qui est nécessairement un entier donc est lui-même un carré parfait.
A fortioti si cinq produits sont des carrés parfaits, le sixième est nécessairement un carré parfait.
Q₄ Il existe une infinité d’entiers p tels que m(p) = 6. En effet avec a = u² et b = v² carrés parfaits, il existe p tel que u² + p et v² + p sont aussi des carrés parfaits x² et y².
On a alors x² – u² = y² – v² ou encore v²+ x² = u² + y² que l’on peut prendre = z² et il existe une infinité de triplets pythagoriciens de la forme (v,x,z) et (u,y,z). Il suffit de partir de deux triplets pythagoriciens primitifs (par exemple (3,4,5) et (5,12,13)) et de calculer le ppcm des hypoténuses (ce qui donne 39,52,65) et (25,60,65)
On établit la suite des carrés parfaits 1,4,9,16,25,36,49,64,...puis celle des différences des carrés parfaits consécutifs 3,5,7,9,11,15,...puis celle des différences des carrés parfaits séparés par deux carrés parfaits : 15,21,27,..Le plus petit entier commun à ces deux dernières suites est 15. D’où la solution m(15) = 6 avec a=1 et b = 49 donnant la + p = 16 et b + p = 64 et les produits 16 = 4², 49 = 7²,64 = 8², 784 = 28², 1024 = 32², et 3136 = 56².
