D670 – Similitude [** à la main]
Problème proposé par Pierre Jullien
Dans le rectangle ABCD, avec seulement une équerre à trois bords rectilignes, j'ai installé le triangle EFG directement semblable au triangle BCD.
Saurez-vous en faire autant ?
Où se situe le centre de la similitude qui transforme un de ces triangles dans l'autre ? Solution proposée par Bernard Vignes
Le sommet C du rectangle ABCD se projette en H sur la diagonale BD. Une droite (Δ) passant par H coupe le côté AB en E et le côté CD en G. La perpendiculaire en H à (Δ) coupe le côté BC en F.
Les points B,E,H,F sont cocycliques avec des angles droits en B et H ainsi que les points C,F,H,G avec des angles droits en C et H.
D’où les relations d’angles :
FCH = FGH =BDC = ABD =EFH et CBD = FEH =FBH = DCH =GFH, les angles du premier lot étant complémentaires des angles du deuxième lot : FCH + FBH = 90° etc…
Il en résulte que le triangle EFG est rectangle en F et tous les triangles rectangles BCD,CHD, BHC, EHF, FHG et EFG sont semblables.
Le tracé d’un triangle EFG semblable à BCD se fait aisément avec une équerre : 1°) tracé de la diagonale BD,
2°) on fait glisser un bord de l’angle droit de l’équerre le long de BD de sorte que le deuxième bord passe par C. D’où le tracé de CH.
3°) on trace une droite (Δ) passant par H qui coupe AB en E et CD en G.D’où le tracé de HF en faisant glisser un bord de l’angle droit de l’équerre le long de EG.
