G 241.La grille aux 2010 carrés
Solution proposée par Michel Lafond
Les dimensions de la grille sont a = 202 et b = 4.
À l’intérieur de la grille, il y a ab carrés de côté 1, (a – 1)(b – 1) carrés de côté 2, etc. et (a – b + 1)(1) carrés de côté b. Soit au total :
C = ab + [ab – a – b + 1] + [ab – 2a – 2b + 4] + [ab – 3a – 3b + 9] + --- + [ab – (b – 1)a – (b – 1)b + (b – 1)2] carrés.
La sommation donne après quelques calculs C = b (1 + b) (3a + 1 – b) / 6 = 2010 par hypothèse.
D’où l’équation b (1 + b) (3a + 1 – b) = 12060 = 22 32 × 5 × 67 (E).
Comme a > b 2, b et b + 1 sont des diviseurs consécutifs de 12060.
Il n’y a que 5 possibilités : b {2, 3, 4, 5, 9}, mais seule b = 4 [et a = 202 tiré de (E)] convient.
Les dimensions de la grille sont a = 202 et b = 4.
On vérifie qu’il y a bien :
ab = 808 carrés de côté 1, (a – 1)(b – 1) = 603 carrés de côté 2, (a – 2)(b – 2) = 400 carrés de côté 3, et (a – 3)(b – 3) = 199 carrés de côté 4.
Soit au total 808 + 603 + 400 + 199 = 2010 carrés.
