E540 - Dans le bon ordre
On se munir de trois cartes et sur chacune d’elles, on inscrit sur une seule colonne trois nombres réels positifs ou nuls dont la somme est égale à 2.
Montrez qu'on peut toujours mettre ces cartes dans un certain ordre de telle sorte que la somme du premier nombre de la première carte, du deuxième nombre de la deuxième carte et du dernier nombre de la troisième carte est comprise dans l'intervalle fermé [1,3].
Pour les plus courageux : C'est la même énigme avec 4 cartes, 4 nombres réels positifs ou nuls écrits en colonne et de somme égale à 3. Prouvez ququ'on peut toujours mettre les cartes dans un ordre tel que la somme du premier nombre de la première carte, du deuxième nombre de le deuxième carte, du troisième nombre de la troisième carte et du quatrième nombre de la quatrième carte appartient à l'intervalle [1, 4].
Solution proposée par Michel Lafond.
Dans la suite, inférieur signifie strictement inférieur, et supérieur signifie strictement supérieur.
Première partie avec 3 cartes.
Soient
les trois cartes. Notons la "somme diagonale"
Par hypothèse
Raisonnons par l’absurde en supposant que quel que soit l’ordre des 3 cartes, Selon l’ordre des 3 cartes, il y a 3 ! = 6 sommes diagonales possibles.
Considérons les trois sommes diagonales faisant intervenir les 9 termes :
On a donc
Chacune des 3 sommes est soit inférieure à 1 soit supérieure à 3. Il y a 4 cas possibles :
Les 3 sommes sont inférieures à 1. On aurait Il y a contradiction avec (2).
Deux des sommes sont inférieures à 1, la troisième est supérieure à 3.
Une somme et inférieure à 1, les deux autres sont supérieures à 3.
Par exemple Mais alors C’est impossible puisque
Les trois sommes sont supérieures à 3. Mais alors est en contradiction avec (2).
Le seul cas possible est Deux des sommes sont inférieures à 1, la troisième est supérieure à 3.
Mais d’après (2)
Donc si deux des sommes sont inférieurs à 1, la troisième est supérieure à 4.
Considérons maintenant les trois autres sommes diagonales faisant intervenir les 9 termes :
Là encore, une de ces trois sommes est supérieure à 4.
Résumons :
Parmi les 3 sommes l’une est supérieure à 4 et parmi les 3 sommes l’une est supérieure à 4.
Il y a couples (i ; j), et pour ces 9 couples sont tels qu’un terme et un seul est commun aux deux sommes. [Vérification élémentaire cas par cas]
Par exemple avec le terme commun est a.
Ceci est impossible car on aurait ce qui entraînerait
Or a ne peut pas être supérieur à 2 puisque Le raisonnement par l’absurde est terminé.
Deuxième partie avec 4 cartes.
Soient
les quatre cartes. Notons la "somme diagonale"
Par hypothèse
On utilisera souvent par la suite le fait que :
Chacun des 16 nombres figurant sur les cartes est inférieur ou égal à 3 [Puisqu’il appartient à une colonne de somme 3].
Raisonnons par l’absurde en supposant que quel que soit l’ordre des 4 cartes, Selon l’ordre des 4 cartes, il y a 4 ! = 24 sommes diagonales possibles.
Considérons les quatre sommes diagonales comprenant les 16 termes a, b, …, p :
Remarquons que
Chaque somme est soit inférieure à 1, soit supérieure à 4. Il y a 5 cas possibles :
Les 4 sommes sont inférieures à 1. On aurait Il y a contradiction avec (4).
Trois des sommes sont inférieures à 1, la troisième est supérieure à 4.
Deux des sommes sont inférieures à 1, les deux autres sont supérieures à 4.
Une somme et inférieure à 1, les trois autres sont supérieures à 4.
On aurait en contradiction avec (4).
Les quatre sommes sont supérieures à 4.
Mais alors est en contradiction avec (4).
Dans les deux seuls cas possibles Au moins deux des sommes sont inférieures à 1.
Considérons maintenant les 24 sommes diagonales possibles, groupées en 6 lignes contenant chacune les 16 éléments a, b, c, …, o, p :
D’après le raisonnement ci-dessus, itéré 6 fois :
Dans chacune des 6 lignes, au moins deux des 4 sommes sont inférieures à 1.
Dans chaque ligne, il y a = 6 manières de choisir 2 sommes parmi 4 ce qui fait au total possibilités à étudier. Un ordinateur sera le bienvenu.
L’une des 46656 possibilités de choix de deux sommes par ligne est indiquée en gras plus haut.
Rappelons l’hypothèse que ces 12 sommes sont inférieures à 1.
Effectuons la statistique consistant à compter le nombre de a, de b, de c, …, de p figurant parmi les termes de ces 12 sommes. Les 12 sommes seront notées .
Ainsi, sur l’exemple en gras comprenant les sommes
La statistique est :
élément α a b c d e f g h i j k l m n o p
effectif eα 4 3 2 3 0 5 2 5 6 1 4 1 2 3 4 3
Dans ce cas particulier, tous les effectifs sont au moins égaux à 2 sauf celui de e qui vaut 0, et ceux de j, l qui valent 1.
Donc Puisque chaque élément est inférieur ou égal à 3, on a :
Mais puisque chaque somme est inférieure à 1 !
On a dans ce cas particulier une contradiction.
Il faut établir une contradiction pour chacun des 46656 cas ! C’est là que l’ordinateur entre en jeu : Pour chacun des 46656 choix de 12 sommes parmi les 24 [deux sommes par ligne], on dresse comme ci- dessus la statistique (eα) des effectifs de
Sous l’hypothèse que les 12 sommes sont inférieures à 1, on constate qu’il n’y a que 5 cas :
Les 16 effectifs eα sont au moins égaux à 1. [35688 cas sur 46656]
Dans ce cas, est contradictoire.
15 des effectifs eα sont au moins égaux à 2 et le 16ème est nul. [2208 cas sur 46656]
Dans ce cas, si l’effectif nul est celui de a par exemple,
est contradictoire.
14 des effectifs sont au moins égaux à 2 et les deux autres sont nuls. [696 cas sur 46656]
Dans ce cas, si les deux effectifs nuls sont ceux de a et b par exemple,
est contradictoire.
14 des effectifs sont au moins égaux à 2 et les deux autres sont 0 et 1. [4608 cas sur 46656]
Dans ce cas, si l’effectif nul est celui de a et l’effectif égal à 1 celui de b par exemple,
est contradictoire.
13 des effectifs sont au moins égaux à 2 et les trois autres sont 0 ; 1 ; 1. [3456 cas sur 46656]
Dans ce cas, si l’effectif nul est celui de a et les effectifs égaux à 1 ceux de b, c par exemple,
est contradictoire.
Il n’y a pas d’autres cas puisque 3588 + 2208 + 696 + 4608 + 3456 = 46656 = 66. Le raisonnement par l’absurde est terminé.
Ce serait mieux d’avoir un raisonnement élégant sans ordinateur… Mais le programme qui fait les
statistiques [MAPLE] est suffisamment simple pour garantir une aussi bonne rigueur qu’un raisonnement manuel. 5 secondes de calculs suffisent, et 3588 + 2208 + 696 + 4608 + 3456 = 46656 est une bonne vérification.
Qu’en est-il avec plus de 4 cartes ?
