A 336. Les nombres inflexibles
Solution proposée par Michel Lafond
Si S (N) désigne la somme des chiffres de l’entier N dans le système décimal, l’entier naturel n est dit accommodant s’il existe un entier N tel que N = n S (N).
Ainsi 2012 est accommodant puisque 36216 = 2012 18 [ S (36216) = 18].
Tous les entiers positifs jusqu’à 61 inclus sont accommodants puisque : 1 1 = 1
Pour n {11, 21, 22, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 44, 51, 52, 53, 54, 55} : n 18 = 18 n avec S (18 n) = 18.
Pour les autres (de 2 à 61 sauf les précédents) : n 9 = 9 n avec S (9 n) = 9.
Mais 62 et 63 sont inflexibles : Remarquons que si N a n chiffres, alors
n N
S
N n
9 10 ) (
1
avec :
n 1 2 3 4 5
n
n
9 10 1
0,11 0,56 3,70 27,78 222,22
Supposons que N = 62 soit accommodant.
Comme n
n
9 10 1
est une fonction croissante de n, le tableau précédent montre que N a au plus 4 chiffres.
En fait, N est nécessairement inférieur à 2000 car :
Si N = 2*** alors 68
29 2000 )
(
N S
N
Si N = 3*** alors 100
30 3000 )
(
N S
N
Si N = 4*** alors 129
31 4000 )
(
N S
N
- - -
Si N = 9*** alors 250
36 9000 )
(
N S
N
Or il y a 32 multiples de 62 inférieurs à 2000, et pour aucun d’entre eux on a l’accommodement N = 62 S (N). Il s’en faut de peu, car par exemple : 62 13 = 806 avec S (806) = 14.
62 est inflexible, de même que 63 [même raisonnement] qui sont donc les deux plus petits inflexibles.
La suite des inflexibles : 62, 63, 65, 75, 84, 95, 161, 173, 195, 216, 261, 266, 272, 276, 326, 371, 372, 377, 381, 383, 386, 387, 395, 411, 416, 422, 426, 431, 432, 438, 441, 443, 461, 466, 471, 476, 482, 483, 486, 488, 491, 492, 493, 494, 497, 498, 516, 521, 522, 527, 531, 533, 536 est évidemment dans l’OEIS :
J. H. Conway, personal communication.
N. J. A. Sloane and Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences, Academic Press, 1995 (includes this sequence).
