E 535. A saute-mouton
Solution proposée par Michel Lafond
Quatre fichets sont aux sommets d’un carré, chacun étant en un point à coordonnées entières.
La seule transformation permise est le transport d’un fichet A à l’emplacement B, symétrique de A par rapport à un troisième fichet C.
Changeons de repère en prenant comme nouveau repère orthonormé (O, OA, OC) où = (O, A, B, C) est le carré initial.
Dans ce nouveau repère, les fichets ne peuvent atteindre que des points à coordonnées entières.
Si on pouvait par la succession des symétries s1, s2, s3, --- , sn, obtenir un carré ’ strictement plus grand que , alors la succession (inverse) des symétries sn, sn - 1 , sn - 2, --- , s1 transformerait ’ en , le rapport entre les côtés étant 0 < k < 1.
Mais alors, En effectuant le même travail sur , on aboutirait à un carré ’’ strictement plus petit que et non réduit à un point, ce qui est impossible puisque son côté serait inférieur à 1 dans le nouveau repère.
La contradiction montre que les symétries permises ne donneront jamais un carré plus grand que celui de départ. Par contre on peut obtenir des carrés de même taille, n’importe où sur le maillage.
O
A B C
