E535 : A saute-mouton.
Énoncé : Sur un immense plateau percé de trous formant un quadrillage régulier, on place quatre fichets aux sommets d’un carré. Chaque fichet peut sauter par-dessus l’un
quelconque des trois autres fichets et sa position d’arrivée est symétrique de sa position de départ par rapport au fichet qui a servi de mouton. Ce dernier reste en place. Après plusieurs mouvements, se peut-il que les quatre fichets forment un carré plus grand que le carré d’origine ?
Trois idées sont essentielles pour résoudre ce problème (de tête) :
Idée 1 : Du fait que les mouvements utilisés conservent les longueurs et alignements, les fichets sont toujours disposés sur un même quadrillage régulier dont le carré d'origine forme l'unité.
Idée 2 : Quelques soient les mouvements effectués, il est alors impossible que les fichets forment un carré plus petit que le carré d'origine.
Idée 3 : Les transformations utilisées sont des symétries, et donc leurs propres réciproques.
En définitive, à supposer que l'on obtienne un carré plus grand, aucune suite de
mouvements ne nous permet de revenir à notre carré d'origine (Idée 2), ce qui devrait être le cas (Idée 3).
Il est donc impossible d'obtenir de carré plus grand que le carré d'origine ...
... sauf si l'on pense plus grand au sens large auquel cas le carré d'origine est plus grand que lui-même.
