E 209 Les nombres distillés.
Solution proposée par Michel Lafond
Notons N = [abcdefghij] les nombres convenables, c’est à dire composés de 10 chiffres décimaux pas tous égaux et pas tous distincts.
Notons D l’opération "distillation" et, comme plus la distillation est longue, plus le degré est élevé, appelons degré de N le nombre de distillations nécessaires à la stabilisation.
Ainsi, N = [3311774422] est de degré 7 car :
N1 = D (N) = [0222200200] N2 = D (N1) = [5050000000] N3 = D (N2) = [8000020000]
N4 = D (N3) = [8010000010] N5 = D (N4) = [7200000010] N6 = D (N5) = [7110000100]
N7 = D (N6) = [6300000100] N8 = D (N7) = [7101001000] N9 = D (N8) = [6300000100]
A partir de N7, on est dans le cycle d’ordre 2 : C2 = ([6300000100], [7101001000]).
On va voir qu’il n’y a qu’un seul autre nombre terminal composé du cycle C1 = [6210001000].
Remarquons qu’après la première distillation d’un nombre quelconque N, le nombre distillé D (N) = [abcdefghij] vérifie par définition a + b + c + d + e + f + g + h + i + j =10 (1)
Par hypothèse, dans (1), les 10 variables sont 10 chiffres décimaux quelconques (sauf le cas de dix "1").
Puisque seuls importent les effectifs de "0", "1", ---, "9" dans N, définissons le type de N comme la suite croissante des effectifs non nuls des 9 chiffres. On notera < x1 x2 --- > cette suite.
Exemples :
Le type de N = [2330023701] est <11233> car N comporte un "1", un "7", deux "2", trois "3", trois "0"
et rien d’autre.
Le type de N = [0008765432] est <11111113> car N comporte un "2", un "3", un "4", un "5", un "6", un
"7", un "8", trois "0" et rien d’autre.
Il est évident que pour chaque type < x1 x2 --- > la somme des xi est égale à 10. Donc les types sont toutes les suites croissantes (au sens large) de chiffres décimaux non nuls, de somme 10 sauf <1111111111>.
On recense facilement la liste de tous les types possibles, il y en a 40 :
<19>, <28>, <37>, <46>, <55>, <118>, <127>, <136>, <145>, <226>, <235>, <244>, <334>, <1117>,
<1126>, <1135>, <1144>, <1225>, <1234>, <1333>, <2224>, <2233>, <11116>, <11125>, <11134>,
<11224>, <11233>, <12223>, <22222>, <111115>, <111124>, <111133>, <111223>, <112222>,
<1111114>, <1111123>, <1111222>, <11111113>, <11111122>, <111111112>.
On ne s’en sortira pas sans l’usage d’un arbre. Considérons donc l’arbre des types dans lequel les sommets sont les 40 types, et où le "fils" d’un type est le type distillé.
En effet, la distillation fonctionne aussi sur les types qui ne font intervenir que les effectifs des chiffres.
Ainsi le fils du type <1111222> est le type <334> puisque le type <1111222> est celui d’un nombre N tel que [abcdeeffgg] contenant un chiffre "a", un chiffre "b" --- deux chiffes "g".
Or le distillé de [abcdeeffgg] est à l’ordre près [0001111222] qui est bien du type <334>.
Voici l’arbre des types. Il a deux composantes connexes (une par terminaison) :
<11125> <11134> <12223> <1111123> <11224> <11233>
<1135> <1225>
<1126>
Notons N = {abcdefghij} un nombre N lorsqu’on ignore l’ordre des chiffres.
Le type terminal <1126> de la première composante connexe provient d’un nombre qui contient six a, deux b, un c, un d et rien d’autre. Donc 6 a + 2 b + c + d = 10.
Une étude exhaustive montre facilement que ces nombres ne peuvent être que d’une des formes : {0000001126} ou {0000001135} ou {0000001225}.
Or on a les distillations suivantes : D [0000001126] = [6210001000]
D [0000001135] = [6201010000] puis D [6201010000] = [6210001000]
D [0000001225] = [6120010000] puis D [6120010000] = [6210001000]
Cela montre que tous les nombres de type <1126> aboutissent à C1 = [6210001000]
Il faut pour cela 0, 1 ou 2 distillations. 0 pour le nombre [6210001000], une pour les nombres {0000001126} sauf C1 et deux pour les nombres {0000001135} ou {0000001225}.
Les types terminaux <136> et <1117> de la deuxième composante connexe proviennent - Soit d’un nombre qui contient six a, trois b, un c donc avec 6 a + 3 b + c = 10
<1333> <2224> <1111114> <235>
<22222>
<55>
<28>
<46> <37> <19>
<111111112>
<1234> <1111222> <1144> <2233> <11111122> <112222> <111133>
<111124>
<334> <226> <244>
<118>
<11116>
<111223>
<145> <127>
<11111113>
<136> <1117>
<111115>
- Soit d’un nombre qui contient sept a, un b, un c et un d donc avec 7 a + b + c + d = 10.
Une étude exhaustive montre facilement que ces nombres ne peuvent être que d’une des formes : {0001111114} ou {0000001117} ou {0000002224} ou {0000001333} ou {0000000145} ou {0000000235} ou {0000000136} ou {0000000127}.
Or on a les distillations suivantes :
D [0001111114] = [3600100000] puis D [3600100000] = [7101001000]
D [0000001117] = [6300000100]
D [0000002224] = [6030100000] puis D [6030100000] = [7101001000]
D [0000001333] = [6103000000] puis D [6103000000] = [7101001000]
D [0000000145] = [7100110000] puis D [7100110000] = [6300000100]
D [0000000235] = [7011010000] puis D [7011010000] = [6300000100]
D [0000000136] = [7101001000]
D [0000000127] = [7110000100] puis D [7110000100] = [7101001000]
Cela montre que tous les nombres de type <136> ou <1117> aboutissent au cycle C2 = ([6300000100], [7101001000])
Il faut pour cela 0, 1 ou 2 distillations. 0 pour les nombres [6300000100] et [7101001000], une pour les nombres de la forme ({0000001117} sauf [7101001000]) ou ({0000000136} sauf [6300000100]} et deux pour ceux de la forme {0001111114} ou {0000002224} ou {0000001333} ou {0000000145} ou
{0000000235} ou {0000000127}.
Enfin, des réponses :
Q1. Il n’y a que deux situations stabilisées :
Le nombre C1 = [6210001000] et le cycle ([6300000100], [7101001000])
Q2. D’après l’arbre, le plus petit nombre de distillations qui stabilise un nombre quelconque est 7.
Les nombres de degré 7 sont les antécédents du type <22222>.
Ainsi N = [1122334455] est de degré 7 car il nécessite 7 distillations avant stabilisation : [1122334455] [0222220000] [5050000000] [8000020000] [8010000010] [7200000010] [7110000100] [6300000100]
Pour les nombres de la première composante connexe, 4 distillations suffisent.
Q3. Les nombres de degré 7, c’est à dire les antécédents du type <22222> sont au nombre de (10 ; 5) (10 ; 2) (8 ; 2) (6 ; 2) (4 ; 2) = 28576800.
En effet, il y a (10 ; 5) = 252 choix des valeurs a, b, c, d, e dans le nombre [aabbccddee] et (10 ; 2) (8 ; 2) (6 ; 2) (4 ; 2) = 113400 choix des positions de aabbccddee dans le nombre.
La notation (n ; p) désigne le nombre de combinaisons de p éléments parmi n.
On compte de même la quantité de nombres de degrés 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 :
3 nombres de degré 0 : ceux des cycles [6210001000], [6300000100], [7101001000]
4077 nombres de degré 1 : ceux de {0000001126} ou {0000000136} ou {0000001117}
soit 10 9 (8 ; 2) + 10 9 8 + 10 (9 ; 3) = 4080 desquels il faut retrancher les 3 précédents.
J’ai calculé par ordinateur les effectifs par degré.
Une vérification consiste à s’assurer que la somme des effectifs est 1010 – 10 ! – 10 = 9996371190.
Je trouve :
degré 0 : 3 degré 1 : 4077 degré 2 : 7555920 degré 3 : 191728800 degré 4 : 3040437600 degré 5 : 4346656650 degré 6 : 2381411340 degré 7 : 28576800
