A510 – Les puissants se laissent manipuler
Par convention un nombre entier naturel positif n est appelé "puissant" si pour tout facteur premier p de n, p² divise aussi n. Ainsi 36 et 500 sont deux nombres puissants.
1. Montrer que chacun des entiers naturels de 1 à 21 peut être représenté par la différence de deux nombres puissants.
2. Pour les plus courageux : un entier naturel quelconque peut-il être représenté par la différence de deux nombres puissants.
Solution par Patrick Gordon
Question 1
Un nombre "puissant" est un nombre dont tous les facteurs premiers interviennent au moins à la puissance 2.
On peut en dresser une liste jusqu'à 1.000 pour dégrossir le problème. On en trouve une cinquantaine et peu importe s'il y a des oublis, car cette liste permet de trouver une décomposition de presque tous entiers naturels de 1 à 21.
Ne manquent à ce stade que 10, 6 et 14.
Pour 10, il suffit d'étendre l'effort un peu au-delà de 2.000.
Pour 6 et 14, on aura recours au site de Dario Alpern pour chercher une solution de l'équation diophantienne :
x² – Dy² = ± 6 ou ± 14, où D est un facteur premier de y.
On trouve les décompositions A – B suivantes, A et B étant deux nombres "puissants" :
A B facteurs de A facteurs de B
1 9 8 3^2 2^3
2 27 25 3^3 5^2
3 128 125 2^7 5^3
4 8 4 2^3 2^2
5 9 4 3^2 2^2
6 214 375 214 369 5^4 * 7^3 463^2
7 16 9 2^4 3^2
8 72 64 2^3 * 3^2 2^6
9 25 16 5^2 2^4
10 2 197 2 187 13^2 3^7
11 36 25 2^2 * 3^2
12 16 4 2^4 2^2
13 49 36 7^2 2^2 * 3^2
14 1 090 122 289 1 090 122 275 137^2 * 241^2 5^2 * 11^3 * 181^2
15 64 49 2^6 7^2
16 144 128 2^4 * 3^2 2^7
17 81 64 3^4 2^6
18 243 225 3^5 3^2 * 5^2
19 100 81 2^2 * 5^2 3^4
20 128 108 2^7 2^2 * 3^3
21 121 100 11^2 2^2 * 5^2
Question 2
Je ne dois pas être assez courageux, car je n'ai pas trouvé. Tout au plus peut-on suggérer que, si la réponse est non, il doit être bien difficile d'exhiber un contre-exemple.
