A510. Les puissants se laissent manipuler
Par convention un nombre entier naturel positif n est appelé « puissant » si pour tout facteur premier p de n, p² divise aussi n. Ainsi 36 et 500 sont deux nombres puissants.
Montrer que chacun des entiers naturels de 1 à 21 peut être représenté par la différence de deux nombres puissants.
Pour les plus courageux : un entier naturel quelconque peut-il être représenté par la différence de deux nombres puissants?
Solution de Bernard Grosjean (première partie)
Un nombre puissant est de la forme n = a2b3 , avec a = a1a2....ap et b = b1b2...bm, (ai et bj premiers) La suite des nombres puissants inférieurs à une valeur donnée ou compris entre 2 valeurs est facilement établie.
Avec les nombres puissants inférieurs à 1000, on peut montrer que 18 des 21 premiers nombres peuvent être représentés par la différence de 2 de ces nombres puissants. (et parfois de plusieurs façons...)
Ainsi : 1 = 32 – 23 = 9 – 8 2 = 33 – 52 = 27 – 25
3 = 22 – 1 = 4 – 3 ou 232222 – 53 = 2342 – 53 = 128 – 125 4 = 23 – 22 = 8 – 4 ou 53 – 112 = 125 – 121
5 = 32 – 22 = 9 – 4 ou 2322 – 33 = 32 – 27
7 = 23 – 1 = 8 – 1 ou 2222 – 32 = 42 – 32 = 16 – 9 8 = 32 – 1 = 9 – 1 ou 2222 – 23 = 42 – 23 = 16 – 8 9 = 52 – 2222 = 52 – 42 = 25 – 16
11 = 33 – 2222 = 33 – 42 = 27 – 16
12 = 2222 – 22 = 42 -22 =16 – 4 ou 23222222 – 5322 = 2382 – 5322 = 512 – 500 13 = 72 – 2232 = 72 – 62 = 49 – 36
15 = 2222 – 1 = 42 – 1 = 16 – 1 ou 222222 – 72 = 82 – 72 = 64 – 49 16 = 52 – 32 = 25 – 9
17 = 52 – 23 = 25 – 8 18 = 33 – 32 = 27 – 9 19 = 33 – 23 = 27 – 8
20 = 2232 – 2222 = 62 – 42 = 36 – 16 21 = 52 – 22 = 25 – 4
Pour 6, 10 et 14, il faut chercher de plus grands nombres puissants.
On obtient par exemple :
6 = 735252 – 4632 = 214375 – 214 369
10 = 133 – 333232 = 133 – 3392 = 2 197 – 2 187
14 = 55192 – 335352192 = 55192 – 153952 = 30 459 361 – 30 459 375 Remarque : si n = 4t, une solution est donnée par (t+1)2 – (t-1)2
