1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n , 3 n

Travail maison 6 T S spécialité Maths

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n , 3 n

– 11n48 est divisible par n 3 . b. Montrer que, pour tout entier naturel n , 3 n

– 9n16 est un entier naturel non nul.

2. Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls a , b et c , l'égalité suivante est vraie:

PGCD a ;b=PGCD  bc – a ;b

3. Montrer que, pour tout entier naturel n , supérieur ou égal à 2, l'égalité suivante est vraie:

PGCD3 n

−11 n ; n3=PGCD 48 ; n3

4. a. Déterminer l'ensemble des diviseurs entiers naturels de 48.

b. En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que 3 n

– 11 n

n3 soit un entier naturel.

Chiffrement de Lester Hill (1929)

Dans ce chiffrement, la fonction de codage agit sur des couples de nombres choisis dans {0,1,...,25} : f :  x

, x

   y

, y

 .

Posons par exemple :

(1) { ^{y y}

^≡ ≡ ⁵ 8 ^x x

^11 3 x ^x

 ^ 26 ^26

Ainsi le mot "KL", correspondant au couple 10,11 = x

, x

 est codé par  y

, y

= 15,9 , soit "PJ".

1. Coder le mot "REQUIN" en détachant les trois blocs de deux lettres.

2. Décodage

a. Montrer que, si x

, x

, y

et y

vérifient (1), alors :

{ ^{−3y 8y}

−5 ^11 y

^y ≡

^≡ 73 ⁷³ x

^x 

26 ^{26 } b. Résoudre dans ℤ×ℤ , l'équation : 73 x 26 y =1 , avec 0 x 25 c. Décoder alors le mot "XEJQVVLDVW".

2009©My Maths Space Page 1/1 1

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