. Pour tout entier naturel n, on note A

Rappel : La rédaction des DM doit être individuelle.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé

(O

;

⃗

u ,

⃗

v

)

. Pour tout entier naturel n, on note A

_n

le point d'affixe z

_n

défini par : z

₀=1 et

z

_n+1=

( ³ 4

+

√ 3

4 i ) ^z

ⁿ

^.

On définit la suite (

r_n

) _par r

_n=

∣ ^z

_n

∣ pour tout entier naturel n.

1) Donner la forme exponentielle du nombre complexe 3 4

+

√ 3

4 i.

2) a) Montrer que la suite

(

r_n

) est géométrique de raison √ 3 2 . b) En déduire l'expression de r

_n

en fonction de n.

c) Que dire de la longueur O A

_n

lorsque n tend vers

+∞

?

3) On considère l'algorithme suivant :

Variables

n

entier naturel

R

_réel

P

réel strictement positif Entrées Demander la valeur de

P

Traitement

R

prend la valeur 1

n

prend la valeur 0 Tant que

R> P

n

prend la valeur

n+ 1 R

prend la valeur

√ 3

2 R

Fin tant que

Sortie Afficher

n

a) Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour P=0,5 ?

b) Pour P= 0,01 on obtient n= 33. Quel est le rôle de cet algorithme ?

4) a) Montrer que pour tout entier naturel n,

z

_n

= r

_n

e

ⁱ

nπ 6

. b) Démontrer que le triangle O A

_n

A

_n+1

est rectangle en A

_n+1

.

c) Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A

_n

est un point de l'axe des ordonnées.

d) Compléter la figure donnée en annexe (au dos de cette page), à rendre avec la copie, en représentant les points A

₆

, A

₇

,A

₈

et A

₉

. Les traits de construction seront apparents.

5) Soit _n

la longueur de la ligne brisée A

₀

A

₁

....A

_n

A

_n+1

a) Exprimer

_n

en fonction de n.

b) Déterminer la limite de

(_n)

si elle existe.

Mme Helme-Guizon http://mathematoques.weebly.com

ANNEXE

( 4 4 )

1) Donner la forme exponentielle du nombre complexe

3 4

+

√ ³

4 i

.

∣

³4+

√

³

4 i

∣

⁼

√ ⁽

³⁴

⁾

²⁺

^{( √}

⁴³

⁾

²⁼

√

^169+163=

√

¹²¹⁶⁼

√

³⁴⁼

^√

²³. On a 3 4+

√

³

4i=

√

³

2

( ^√

³⁴2³ +

√

3 4

√

3 2

i

)

⁼

^√

²³

⁽

^34×

^√

²³⁺

^√

^43×

^√

²³ⁱ

⁾

⁼

^√

²³

^{( √}

²³⁺¹²ⁱ

⁾

^.

Or cosπ 6=

√

³

2 et sinπ 6=1

2 donc le nombre complexe 3 4+

√

³

4i a pour module

√

³

2 et pour argument π

6 donc sa forme exponentielle est

√

3

2 eⁱ

π 6.

3

4

+

√ 3 4 i= √ 3

2 e

ⁱ

π6

Remarque : On peut faire plus efficace au niveau du calcul : la factorisation « se voit » et si on ne la voit pas, multiplier le numérateur et le dénominateur par 4 est selon moi plus rapide que de multiplier par l'inverse du quotient.

2) a) Montrer que la suite

( r

_n

)

est géométrique de raison

√

³

2.

r

_n+1=

∣ ^z

n+1

∣

⁼

∣ ( ³ 4

+

√ ³

4 i ) ^z

ⁿ

∣

⁼

∣ ³ 4

+

√ ³

4 i ∣

^×

^{∣ z}

ⁿ

^∣

⁼

^√ 2 ³ r

_n donc la suite (r_n) est géométrique de raison q=

√

3

2 et de premier terme

r

₀=

∣ ^z

0

∣

^=1.

b) En déduire l'expression de

r

_n en fonction de

n

. La suite (rn) est géométrique donc, pour tout entier naturel n ,

r

_n=r₀×qⁿ, donc

r

n=

( ^√ 2 ³ )

^{n .}

c) Que dire de la longueur

O A

_n lorsque

n

tend vers +∞ ? OA_n=

∣

z_n

∣

=r_n=

( ^√

2³

)

^{n. (rn}) est une suite géométrique de raison √3

2; or −1<√3

2<1 donc la suite (r_n) converge vers 0. La longueur OA_n tend donc vers 0 quand

n

tend vers +∞.

3) On considère l'algorithme suivant : a) Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour

P=0,5

?

On fait tourner l'algorithme donné dans le texte en prenant pour

P

la valeur

0,5

:

La valeur affichée par l'algorithme pour

P=0,5

est 5.

b) Pour P=0,01 on obtient n=33.Quel est le rôle de cet algorithme ?

Cet algorithme s'arrête dès que

R⩽P

et affiche alors

n

, c'est-à-dire qu'il affiche la plus petite valeur de

n

pour laquelle

R

donc

r

_n=OA_n est inférieur ou égal à

P

.

n R P R>P ?

Initialisation 0 1 0,5 VRAI

Traitement 1 r₁=

√

3

2≈0,866 0,5 VRAI 2

r

₂=

( ^√ 2 ³ )

^{2=0,75 0,5 VRAI}

3

r

3=

( ^√ 2 ³ )

^{3≈0,6495 0,5 VRAI}

4

r

₄=

( ^√ 2 ³ )

^{4=0,5625 0,5 VRAI}

5

r

₅=

( ^√ 2 ³ )

^{5≈0,49 0,5 FAUX}

Sortie Afficher 5

On peut donc dire que OA₃₂>0,01 et que OA₃₃⩽0,01.

Vérification à la calculatrice: r₃₂≈0,01002 et r₃₃≈0,00868.

Mme Helme-Guizon http://mathematoques.weebly.com

3

Les étapes de l'algorithme doivent

figurer sur la copie.

4) a) z₀=1 et ∀n∈ℕ, z_n+1=

(

³4+√³

4 i

)

^{zn. donc (zn)} est une suite géométrique de raison z₁=

(

³4+√³

4 i

)

et de premier terme z0=1.Pour tout entier n, on a donc z_n=z₀(z₁)ⁿ=(z₁)ⁿ. Or d'après 1) z₁=3

4+

√

³

4i=

√

³

2 eⁱ

π 6 donc z_n=(z₁)ⁿ=

( ^√

2³eⁱ

π

6

)

ⁿ⁼

( ^√

2³

)

ⁿ

⁽

^eiπ6

⁾

ⁿ⁼

( ^√

2³

)

^neinπ6. Finalement, Pour tout entier naturel n, z_n=(z₁)ⁿ=

( ^√

2³

)

^{neinπ6 .}

On pouvait aussi le prouver par récurrence.

b) Démontrer que le triangle O A_nA_n+1 est rectangle en A_n+1. On considère le triangle OA_nA_n+1.

■ Méthode 1 : réciproque du théorème de Pythagore OA_n=r_n donc (OA_n)²=r_n². OA_n+1=r_n+1=√³

2r_n donc ^(OAn+1)²=3 4r_n². A_nA_n+1=|^zn+1−z_n|⁼

| ⁽

^34+√43i

⁾

^zn−zn

|

⁼

| ⁽

^{34+√43i−1}

⁾

^zn

|

⁼

|

⁻¹4+√3

4i

|

^×|zn|=

√ ⁽

⁻¹⁴

⁾

²⁺

⁽

^√43

⁾

^2×rn=

√

^161+163rn=

√

^{164rn=12rn donc}

(A_nA_n+1)²=1

4r_n². On a donc ^(AnA_n+1)²+(OA_n+1)²=1 4r_n²+3

4r_n²=r_n²=(OA_n)²

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OA_nA_n+1 est rectangle en A_n+1.

■ Méthode 2 : calculs d'angles via les arguments

Notre but est de montrer que l'angle (⃗A_n+1O ,⃗A_n+1A_n) est droit. Calculons une mesure de cet angle : (⃗A_n+1O ,⃗A_n+1A_n)=⁽ⁱ⁾(⃗A_n+1O ,⃗u)+( ⃗u ,⃗A_n+1A_n)=−(⃗u ,⃗A_n+1O)+( ⃗u ,⃗A_n+1A_n)=−arg(0−z_n+1)+arg(z_n−z_n+1)

=arg

(

^z−zn−zn+1ⁿ⁺¹

)

^=arg

(

^zn+1zn+1^−zn

)

^=arg

(

^1−zzn+1ⁿ

)

^=(ii)arg

(

^{1−((zz1)1n+1)n}

)

^=arg

⁽

^1−z11

⁾

⁽ⁱ⁾

relation de Chasles pour les angles orientés, ; (ii) car z_n=(z₁)ⁿd'après 4 a).

Or z₁=3 4+

√

³

4 i=

√

³

2eⁱ

π

6 donc _z¹

1

=2

√^3e

−iπ

6 donc 1−1 z₁=1−2

√^3e

−iπ 6=1−2

√³

(

^√2³−1

2i

)

⁼¹⁻¹⁺_√¹₃ⁱ⁼⁺_√¹₃ⁱ , qui a pour argument π

2. On a donc prouvé que ^{(⃗An+1O ,⃗An+1An)= π}2+2kπ donc l'angle (⃗A_n+1O ,⃗A_n+1A_n) est droit ce qui prouve que le triangle OA_nA_n+1 est rectangle en A_n+1.

c) Le point A_n, d'affixe z_n, appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si son argument est π 2 ou 3π

2 modulo 2π, c'est-à-dire π

2 modulo π, donc il peut s'écrire π

2+kπ où k∈ℤ.

z_n=

( ^√

2³

)

^neinπ6 d'après 4a), donc le nombre

z

_n a pour argument nπ 6; nπ

6=π

2+kπ⇔n=3+6k.

Mais

n

est un entier naturel donc

k

doit être strictement positif donc appartenir à ℕ. Finalement, le point

A

_n appartient à l'axe des ordonnées si

n

s'écrit

3+ 6k

avec

k∈ℕ

. d) Compléter la figure donnée en annexe en représentant les points

A

₆

, A

₇

,A

₈ et

A

₉. Le point A₆ a pour affixe z₆ qui a pour argument 6π

6=π; ce point est donc sur l'axe des abscisses.Comme le triangle OA₅A₆ est rectangle en A₆, on trace le cercle de diamètre OA₅; le point A₆ est à l'intersection de ce cercle et de l'axe des abscisses. [On utilise le fait qu'un triangle rectangle est inscrit dans le cercle ayant pour diamètre son hypoténuse.] Le point A₇ a pour affixe z₇ qui a pour argument 7π

6 ; donc les points A₁,

O

et

A

₇ sont alignés. Le point

A

₇ se trouve donc à l'intersection du cercle de diamètre

OA

₆ et de la droite (OA1).

Etc. (Voir figure en annexe)

Remarque: les points

A

₃ et

A

₉ appartiennent à l'axe des ordonnées, ce qui correspond bien à la réponse trouvée à la question 4.c.

[Le sujet de bac s'arrêtait ici. Vous avez du rab!]

5) Soit _n la longueur de la ligne brisée

A

₀

A

₁

....A

_n

A

_n+1. a) Exprimer _n en fonction de n.

w_k=A_kA_k+1=1 2

( ^√

2³

)

^k

Remarque : On aurait pu trouver que w_k=A_kA_k+1=1

2

( ^√

²³

)

^kpar des méthodes de géométrie élémentaires : Ceux qui ont démontré du fait que le triangle est rectangle au moyen de la réciproque du théorème de Pythagore ont au passage établi que ^AnA_n+1=1

2r_n. On pouvait aussi voir que le triangle O A_nA_n+1 est rectangle en A_n+1 avec l 'angle en O de mesure π

6=30^∘ et OAn=rn . SOH CAH TOA finit le travail.

(w_k) est donc une suite géométrique de raison

√ ³

2

. On en déduit par la formule d'addition de termes

consécutifs d'ne suite géométrique que _n=∑

k=0

k=nA_kA_k+1=∑

k=0 k=n

w_k=w₀−w_n+1 1−

√

3

2

= 1 2−1

2

( ^√

₂³

)

ⁿ⁺¹

1−

√

3 2

=⁽ⁱ⁾

1−

( ^√

₂³

)

ⁿ⁺¹

2−

√

3 (i) en multipliant le haut et le bas par 2.

Finalement, pour tout entier naturel n, _n=

1−

( ^√

₂³

)

ⁿ⁺¹

2−

√

^{3 .}

b) Déterminer la limite de (_n) si elle existe.

n⟼

( ^√

2³

)

ⁿ est une suite géométrique de raison

√

³

2; or −1<

√

³

2<1 donc la suite n⟼

( ^√

2³

)

ⁿ converge vers 0 d'où, par somme et quotient de limites, lim

n→+∞_n= 1−0 2−

√

³⁼

1 2−

√

³⁼

2+

√

3

(2−

√

³⁾⁽²⁺

√

³⁾⁼²⁺

√

3 lim

n→+∞

_n=2+

√

3

Mme Helme-Guizon http://mathematoques.weebly.com

5