Triangle rectangle, cercle et bissectrice

Triangle rectangle, cercle et bissectrice

1) Triangle rectangle, cercle circonscrit et médiane

Propriété : Si un triangle est rectangle,

Alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse.

Exemples :

 Conséquence

Propriété : Si un triangle est rectangle,

Alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

Exemples:

Le triangle ABC est rectangle en A.

M est le milieu de l’hypoténuse.

Donc c’est le centre du cercle circonscrit.

Le triangle ABC est rectangle en A.

[AM] est la médiane issue de l’angle droit.

Donc 2

AM  BC.

Propriété : Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point du cercle Alors ce triangle est rectangle en ce point.

Exemples :

 Conséquence

Propriété : Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé,

Alors le triangle est rectangle en ce sommet.

Exemples :

2) Distance d’un point à une droite

Définition : La distance d’un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point de la droite.

Propriété : Le point le plus proche de A est le point H tel que la droite (AH) est perpendiculaire à (d).

AH est la distance du point A à la droite (d).

Exemples :

[BC] est un diamètre du cercle, A est un point du cercle.

Donc le triangle ABC est rectangle en A

[AM] est la médiane issue de A 2

AM  BC

Donc le triangle ABC est rectangle en A

Pour tout point M appartenant à (d), on a : AH  AM

3) Points d’une bissectrice

Propriété : Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, Alors il est équidistant des côtés de cet angle.

M appartient à la bissectrice de l’angle HOK

Donc MH MK

Propriété : Si un point M est équidistant des côtés d’un angle de sommet O, Alors [OM) est la bissectrice de cet angle.

MH MK

Donc [OM) est la bissectrice de l’angle HOK

4) Cercle et tangente

a)

Propriété - Définition : La tangente à un cercle est la droite qui coupe ce cercle en un seul point. La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon qui passe par ce point.

La droite (d) est tangente au cercle (C) en A.

b) Cercle inscrit dans un

triangle

Propriété - Définition : Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes. Leur point d’intersection est le centre du cercle tangent aux trois côtés du triangle. Ce cercle est appelé cercle inscrit dans le triangle.