T2 - Triangle rectangle et cercle (exercices)
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TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE 1
Exercice 1
Dans un triangle ABC rectangle en A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Combien mesure BC ?
Exercice 2
Dans le triangle ci-dessous, combien vaut la longueur ES?
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Soit ABC un triangle tel que :
AB = 3 cm BC = 4 cm AC = 5 cm
Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Calculer le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.
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CORRECTION
Exercice 1
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a : AB = 6 cm, AC = 8 cm.
Donc d’après le théorème de Pythagore, on a : BC² = AB² + AC²
⇔ BC² = 6² + 8² ⇔ BC² = 36 + 64 ⇔ BC= 100 ⇔ BC = √100 ⇔ BC = 10 BC mesure 10 cm.
Exercice 2
Dans le triangle LES rectangle en E, on a : LE = 6 cm et LS = 10 cm Donc d’après le théorème de Pythagore, on a :
LS² = LE² + ES²
⇔ ES² = LS² − LE ⇔ ES= 10− 6 ⇔ ES= 100 − 36 ⇔ ES= 64 ⇔ ES = √64 ⇔ ES = 8 ES mesure 8 cm
Exercice 3
Lorsqu’un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses côtés est le diamètre de ce cercle, alors le triangle est rectangle.
Donc ABC rectangle en C.
Calculons AC² AC² = 4²=16
Calculons AB²
AB est le diamètre du cercle. On sait que le rayon du cercle mesure 3 cm donc AB = 6 cm.
AB²=6²=36
D’après le théorème de Pythagore : AB² = AC² + BC²
⇔ BC² = AB² − AC ⇔ BC= 36 − 16 ⇔ BC² = 20 ⇔ BC = √20 ⇔ BC = 4,5 cm
BC mesure 4,5 cm.
Exercice 4
Lorsqu’un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses côtés est le diamètre de ce cercle, alors le triangle est rectangle.
Donc ABC rectangle en C.
Le centre du cercle circonscrit le milieu de l’hypoténuse soit I.
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Exercice 5
Calculons AB²+BC²
AB² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 AC² = 5² = 25
On a AB+ BC= AC
Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse [AC]. Donc le rayon du cercle circonscrit est égal à 5 ÷ 2 = 2,5 .
