Triangle rectangle, cercle et bissectrice
1) Triangle rectangle, cercle circonscrit et médiane
Propriété : Si un triangle est rectangle,
Alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse.
Exemples :
Conséquence
Propriété : Si un triangle est rectangle,
Alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
Exemples:
Le triangle ABC est rectangle en A.
M est le milieu de l’hypoténuse.
Donc c’est le centre du cercle circonscrit.
Le triangle ABC est rectangle en A.
[AM] est la médiane issue de l’angle droit.
Donc 2
AM = BC.
Propriété : Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point du cercle Alors ce triangle est rectangle en ce point.
Exemples :
Conséquence
Propriété : Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé,
Alors le triangle est rectangle en ce sommet.
Exemples :
2) Distance d’un point à une droite
Définition : La distance d’un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point de la droite.
Propriété : Le point le plus proche de A est le point H tel que la droite (AH) est perpendiculaire à (d).
AH est la distance du point A à la droite (d).
Exemples :
Pour tout point M appartenant à (d), on a : AH≤ AM
[BC] est un diamètre du cercle, A est un point du cercle.
Donc le triangle ABC est rectangle en A
[AM] est la médiane issue de A
2 AM = BC
Donc le triangle ABC est rectangle en A
3) Points d’une bissectrice
M appartient à la bissectrice de l’angle HOK
Donc MH =MK
MH =MK
Donc [OM) est la bissectrice de l’angle HOK
Propriété : Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, Alors il est équidistant des côtés de cet angle.
Propriété : Si un point M est équidistant des côtés d’un angle de sommet O, Alors [OM) est la bissectrice de cet angle.
4) Cercle et tangente
a) Tangente à un cercle en un point
Propriété - Définition : La tangente à un cercle est la droite qui coupe ce cercle en un seul point. La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon qui passe par ce point.
La droite (d) est tangente au cercle (C) en A.
b) Cercle inscrit dans un triangle
Propriété - Définition : Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes. Leur point d’intersection est le centre du cercle tangent aux trois côtés du triangle. Ce cercle est appelé cercle inscrit dans le triangle.
