A352 - Les nombres trapéziens [**** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
On appelle trapèze de largeur L et de hauteur H, une configuration comprenant H lignes contenant respectivement (de haut en bas) L, L – 1, L – 2, ---, L – H + 1 emplacements. Si L = H, le trapèze devient un triangle. Un entier naturel n est dit trapézien si on peut disposer les entiers 1, 2, 3 ---, n dans les emplacements d’un trapèze de hauteur H 2, de telle sorte qu’à partir de la deuxième ligne, tout entier soit égal à l’écart entre les deux entiers situés au-dessus de lui.
Exemples : 3 et 14 sont trapéziens :
Q₁ Démontrer que les puissances de 2 ne sont pas trapéziennes.
Q₂ Démontrer que tout nombre impair à partir de 3 trapézien.
Q₃ Quels sont les nombres trapéziens pairs inférieurs à 40 ? Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁ Tout trapèze de largeur L et de hauteur H comporte H(2L – H + 1)/2 nombres entiers compris entre 1 et H(2L – H + 1)/2 avec H > 1.
L’entier de la forme n = 2k serait trapézien si on savait trouver H et L tel que H(2L – H + 1) = 2k+1.H serait nécessairement une puissance de 2 donc un nombre pair, ce qui entrainerait 2L – H + 1 toujours impair. Contradiction avec 2L – H + 1 qui devrait être également une puissance de 2. Une puissance de 2 ne peut pas être trapézienne.
Q₂ A l’inverse tout nombre impair n = 2k + 1 ≥ 3 est trapézien. En effet pour H = 2, on sait toujours trouver L tel que 2(2L – 1)/2 = n = 2k + 1, soit L = k + 1. Le placement des entiers dans le trapèze obéit à une règle simple : on place tous les entiers impairs sur la première ligne, la deuxième ligne comportant de facto des entiers exclusivement pairs. Ceux-ci peuvent être écrits dans l’ordre
décroissant 2k, 2k – 2 , 2k – 4,...,6,4,2, les entiers impairs de la première ligne étant alors 1, 2k+1, 3, 2k – 1, 5, 2k – 3...la somme de deux impairs consécutifs de rang 2i+1 et 2i+2 pour i = 0,1,2,...étant constante et égale à 2k + 2.
Q₃ Pour faciliter la recherche des nombres pairs trapéziens, il est utile de déterminer dans un premier temps les dimensions L et H des trapèzes associés à un entier pair quelconque n = 2k au sein desquels dans un deuxième temps on doit inscrire les entiers de 1 à 2k.
Tout nombre trapézien est la différence des nombres triangulaires T(L) et T(L – H).
En posant a = L > b = L – H, on a l’équation : 4k = a(a+1) – b(b+1) = (a – b )(a + b + 1).
En factorisant 4k = pq avec p > q, on pose a + b + 1 = p et a – b = q.
D’où a = (p + q – 1)/2 et b = (p – q – 1)/2, ce qui donne L = (p + q – 1)/2 et H = q.
Il en résulte que p et q doivent être de parités différentes.
On note au passage que si b = 0, le trapèze devient un triangle.
D’où le tableau des couples (L,H) possibles pour les entiers pairs de 2 à 30, hormis les puissances de 2.
1 3 9 13 1 11 14
2 4 12 10 3
8 2 7
6 5
Un programme informatique permet la recherche exhaustive des solutions possibles (hors les solutions symétriques par rapport à l’axe vertical qui partage le trapèze en deux) pour tous les nombres pairs ≤ 30 et fait apparaître que 22,26 et 28 ne sont pas trapéziens.
Pour les valeurs de n = 6,10,12,14,18,20,24,30 on observe une distribution très variable du nombre de solutions sans qu’on puisse déterminer un mode de placement systématique des entiers comme cela vient d’être fait pour tous les entiers impairs.
Les solutions les plus nombreuses s’observent avec les entiers n = 6k mais pour autant on ne peut pas affirmer qu’il existe toujours des solutions pour les entiers de cette forme avec k > 5.
n = 24 (premières lignes exclusivement)
