A628 ‒ Les entiers séparables.
Problème proposé par Michel Lafond
On dit qu’un entier est séparable si E = {1, 2, 3, …, n} peut être partagé en deux sous-ensembles tels que
Exemple : 7 est séparable avec car 3 + 5 + 6 + 7 = 12 + 22 + 42 = 21.
Déterminer tous les entiers séparables.
Solution proposée par l'auteur
Les entiers séparables sont tous les entiers de la forme 4t ou 4t – 1 (t > 0) sauf 4 et 11.
Commençons par démontrer le LEMME :
Rappel : Les nombres triangulaires sont les
En effet, la propriété S (n) : n est la somme de nombres triangulaires distincts est vraie pour comme on le vérifie dans l’ANNEXE 1.
De plus, on n’utilise dans cette vérification, que les nombres triangulaires Or et 78 + 34 = 112, 78 + 35 = 113, …, 78 + 111 = 189.
Donc la propriété S (n) est vraie pour . Démontrons par récurrence, la propriété ( ) :
Tout entier n compris entre 34 et est somme de nombres triangulaires distincts, en utilisant au plus Comme on l’a vu plus haut, est vraie.
Supposons ( ) vraie pour un entier Cela entraîne D’une part
En effet, Et d’autre part
En effet,
Donc tous les entiers compris entre et ( sont sommes de nombres triangulaires distincts, en utilisant au plus ce qui signifie que ( ) est vraie.
( ) est donc vraie pour tout n à partir de 12, ce qui démontre le LEMME.
Abordons maintenant le problème.
Si est séparable, E = {1, 2, 3, …, n} peut être partagé en deux sous-ensembles tels que
Or donc modulo 2 on a
Une condition nécessaire est donc que n soit de la forme 4t ou 4t – 1.
Cette condition n’est pas suffisante, car on vérifie facilement que n = 4 et n = 11 ne sont pas séparables.
Par contre, tout entier de la forme 4t ou 4t – 1 (sauf 4 et 11) est séparable.
(Vérification faite dans l’ANNEXE 2).
Tout entier supérieur ou égal à 34 est la somme de nombres triangulaires distincts.
Pour finir, démontrons que tous les entiers de la forme 4 k ou 4 k – 1 supérieurs ou égaux à 59 sont séparables.
Soit donc un entier de la forme 4t ou 4t – 1.
Soit k l’entier qui vérifie
On déduit de (1)
Et aussi Posons et
On a donc pour l’instant Posons
D’après (1) (3) et (4)
De plus est pair car ou selon que n est de la forme 4t ou 4t – 1, donc d’après le LEMME, est la somme de nombres triangulaires distincts, soit
(5) D’après (1) (2) (3) et (4)
D’après (5) et (6) donc d’où
[Cette dernière inégalité est vraie à partir de k = 7 or k > 40]
Puisque (5) montre que a, b, c, …, u, k – 1 sont tous distincts.
Modifions maintenant la composition de en transférant les éléments a, b, …, u de On a donc maintenant
On avait On a maintenant et
D’où
On a ce qui prouve que n est séparable.
Résumons l’algorithme utilisé :
Exemple n = 100, k = 70, Donc on prend
On vérifie que
Soit un entier de la forme 4t ou 4t – 1 (différent de 4 et de 11).
Si se reporter à l’ANNEXE 2.
Si on prend où k est la partie entière de
et où
(Nombres triangulaires tous distincts).
est le complémentaire de dans {1, 2, 3, …, n}]
Ci-dessous les deux annexes.
ANNEXE 1 Tout entier compris entre 34 et 111 est la somme de nombre triangulaires distincts.
Vérification. Les seuls nombres triangulaires utilisés sont : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66.
34 = 6 + 28 35 = 1 + 6 + 28 36 = 36 37 = 1 + 36
38 = 1 + 3 + 6 + 28 39 = 3 + 36 40 = 1 + 3 + 36 41 = 3 + 10 + 28
42 = 6 + 36 43 = 1 + 6 + 36 44 = 1 + 15 + 28 45 = 45
46 = 1 + 45 47 = 1 + 10 + 36 48 = 3 + 45 49 = 1 + 3 + 45
50 = 1 + 3 + 10 + 36 51 = 15 + 36 52 = 1 + 15 + 36 53 = 1 + 6 + 10 + 36
54 = 3 + 15 + 36 55 = 55 56 = 1 + 55 57 = 21 + 36
58 = 3 + 55 59 = 1 + 3 + 55 60 = 15 + 45 61 = 6 + 55
62 = 1 + 6 + 55 63 = 3 + 15 + 45 64 = 28 + 36 65 = 10 + 55 66 = 66 67 = 1 + 66 68 = 3 + 10 + 55 69 = 3 + 66
70 = 15 + 55 71 = 1 + 15 + 55 72 = 6 + 66 73 = 28 + 45
74 = 1 + 28 + 45 75 = 3 + 6 + 66 76 = 21 + 55 77 = 1 + 21 + 55 78 = 1 + 3 + 10 + 28 + 36 79 = 3 + 10 + 66 80 = 10 + 15 + 55 81 = 15 + 66
82 = 1 + 15 + 66 83 = 28 + 55 84 = 1 + 28 + 55 85 = 3 + 6 + 10 + 66 86 = 3 + 8 + 55 87 = 21 + 66 88 = 1 + 21 + 66 89 = 6 + 28 + 55 90 = 3 + 21 + 66 91 = 36 + 55 92 = 1 + 36 + 55 93 = 6 + 21 + 66 94 = 28 + 66 95 = 1 + 28 + 66 96 = 3 + 6 + 21 + 66 97 = 10 + 21 + 66 98 = 15 + 28 + 55 99 = 1 + 15 + 28 + 55 100 = 45 + 55 101 = 1 + 45 + 55 102 = 36 + 66 103 = 1 + 36 + 66 104 = 10 + 28 + 66 105 = 3 + 36 + 66 106 = 6 + 45 + 55 107 = 1 + 6 + 45 + 55 108 = 6 + 36 + 66 109 = 15 + 28 + 66 110 = 10 + 45 + 55 111 = 45 + 66
ANNEXE 2 Tout entier compris entre 2 et 59 et de la forme 4t ou 4t – 1 (sauf 4 et 11) est séparable.
Vérification :
n A1 A2 somme commune
3 1 + 3 22 4
7 3 + 5 + 6 + 7 12 + 22 + 42 21
8 1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 22 + 52 29
12 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 + 10 + 11 + 12 22 + 82 68
15 1 + 3 + 4 + 5 + 7 + [9 +…+ 15] 22 + 62 + 82 104
16 1 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + [11 +…+ 16] 22 + 42 + 102 120
19 [3 +…+ 12] + [14 +…+ 19] 12 + 22 + 132 174
20 1 + 2 + 4 + 5 + [7 +…+ 11] + [13 +…+ 20] 32 + 62 + 122 189
23 1 + 3 + 4 + [6 +…+ 14] + [16 +…+ 23] 22 + 52 + 152 254
24 3 + [5 +…+ 15] + [17 +…+ 24] 12 + 22 + 42 + 162 277
27 1 + 3 + 4 + [6 +…+ 17] + [19 +…+ 27] 22 + 52 + 182 353
28 1 + 3 + [5 +…+ 18] + [20 +…+ 28] 22 + 42 + 192 381
31 2 + [5 +…+ 20] + [22 +…+ 31] 12 + 32 + 42 + 212 467
32 2 + 3 + [5 +…+ 21] + [23 +…+ 32] 12 + 42 + 222 501
35 [1 +…+ 4] + [6 +…+ 23] + [25 +…+ 35] 52 + 242 601
36 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + [9 +…+ 22] + [24 +…+ 36] 62 + 82 + 232 629 39 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + [9 +…+ 25] + [27 +…+ 39] 22 + 82 + 262 744
40 [3 +…+ 27] + [29 +…+ 40] 12 + 22 + 282 789
43 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + [8 +…+ 28] + [30 +…+ 43] 42 + 72 + 292 906 44 1 + 4 + 5 + [7 +…+ 29] + [31 +…+ 44] 22 + 32 + 62 + 302 949
47 1 + [3 +…+ 32] + [34 +…+ 47] 22 + 332 1093
48 1 + 2 + 4 + 5 + [7 +…+ 32] + [34 +…+ 48] 32 + 62 + 332 1134 51 1 + 3 + [5 +…+ 9] + [11 +…+ 33] + [35 +…+ 51] 22 + 42 + 102 + 342 1276 52 [3 +…+ 9] + [11 +…+ 34] + [36 +…+ 52] 12 + 22 + 102 + 352 1330 55 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + [8 +…+ 37] + [39 +…+ 55] 12 + 72 + 382 1494
56 1 + 3 + 4 + [6 +…+ 38] + [40 +…+ 56] 22 + 52 + 392 1550
