A570 – À la recherche du facteur commun
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Quel que soit l’entier k ≥ 1, on sait que pour tout entier n≥1, les entiers (n + 1)k et nk n’ont pas de facteur commun > 1.
Montrer que pour k prenant successivement les valeurs 3, 5 et 7 on sait trouver au moins un entier n > 0 tel que les entiers (n + 1)k + k et nk + k ont un facteur commun > 1.
Solution proposée par Patrick Gordon
k = 3
Cherchons un nombre premier p qui divise à la fois les deux polynômes : A = (n + 1)3 + 3
B = n3 + 3.
Il divise donc aussi : B = n3 + 3
C = A – B = 3n² + 3n + 1
Mais si p divise B et C, il divise aussi le polynôme : D = XB – YC
où X et Y sont des polynômes (éventuellement des constantes).
On peut choisir X et Y de telle sorte que D soit de degré inférieur à ceux de B et de C. En principe, "Y de degré 1 et X = 1" suffirait, mais comme on veut que les coefficients de D soient des entiers, il faut que X soit une constante éventuellement ≠ 1 à déterminer.
On trouve aisément que la solution est : X = 3
Y = n + 1.
Avec ces valeurs, D = XB – YC = 2n + 10.
En appliquant la même opération à C et D, on trouve : X' = 2
Y' = 3n – 12 et, avec ces valeurs :
E = X'C – Y'D = 122.
Le nombre 122 n'a que deux facteurs : 2 et 61. Le facteur 2 est à exclure car A et B sont de parités opposées. Donc p = 61.
La valeur de n correspondante est solution de l'équation diophantienne : 2n + 10 = 61m,
où 2n + 10 = D est le dernier monôme trouvé.
La solution en n > 0 est donc : n = 56 + 61t
Vérification pour n = 56 :
A = (n + 1)3 + 3 = 573 + 3 = 185 196 = 61 × 3036 B = n3 + 3 = 563 + 3 = 175 619 = 61 × 2879.
k = 5
Cherchons un nombre premier p qui divise à la fois les deux polynômes : A = (n + 1)5 + 5
B = n5 + 5.
Il divise donc aussi : B = n5 +5
C = A – B = 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n + 1.
On procède comme ci-dessus.
Le dernier monôme est 25056 n + 13628.
La constante finale est 1543500784. Ce nombre se décompose en : 24 7² 1968751.
Or p ne peut pas être multiple de 2 car A et B sont de parités opposées, ni de 7 car les puissances 5 successives de n sont toutes différentes modulo 7. Donc p = 1 968 751.
La valeur de n correspondante est solution de l'équation diophantienne : 25 056 n + 13 628 = 1 968 751 m,
La résolution par le site de Dario Alpern donne : m = 6 788 + 25 056 t
n = 533 360 + 1 968 751 t.
L'énormité des nombres 533 3605+ 5 et 533 3615+ 5 requiert le recours à Factoris pour la vérification.
Elle donne :
Factorisation de n = 5333605+5 :
43162064617930483653017600005 = 5 × 78803 × 1968751 × 55641478729429717 Factorisation de n = 5333615+5 :
43162469243572337970660522806 = 2 × 31 × 1968751 × 549756587 × 643210846049
k = 7
Nous cherchons cette fois un nombre premier p qui divise à la fois les deux polynômes : A = (n + 1)7 + 7
B = n7 + 7.
Il divise donc aussi : B = n7 + 7
C = A – B = 7n6 + 28n5 + 35n4 + 35n3 + 28n2 + 7n + 1.
On tente de procéder comme ci-dessus, mais les calculs sont cette fois trop lourds. À la main, la tâche est impossible; avec un tableur, on atteint un dernier monôme égal à 3,80535E+27 n + 7,13819E+27 et une constante égale à -1,86282E+66.
Ces nombres sont trop gigantesques pour que la méthode ci-dessus puisse aboutir.
L'intuition suggérant toutefois que le même n = 56 que pour k = 3 pourrait présenter la propriété recherchée pour k = 7 également, on essaie n =56.
On constate que n = 56 (à t fois 43 près) est solution avec pour facteur commun p = 43. Cette propriété est vraie aussi pour n = 57 (à t fois 43 près également). Ainsi n7 + 7 est divisible par 43 pour n = 56, 57 et 58.
Là encore, Factoris permet une vérification.
Factorisation de n = 567+7 :
1727094849543 = 33 × 7 × 17 × 41 × 43 × 304897 Factorisation de n = 577+7 :
1954897493200 = 24 × 52 × 43 × 1277 × 89003 Factorisation de n = 587+7 :
2207984167559 = 23 × 43 × 2232542131
