(a) D´emontrer que, pour tout entier k≥2, on a la majoration 1 k2 ≤ 1 k−1 −1 k

MASTER 1 - M´etiers de L’Enseignement en Math´ematiques La Mi-Voix - ULCO ANALYSE 2 Novembre 2011 - Contrˆole Continu, Semestre 1 Dur´ee de l’´epreuve : 3h00 Documents interdits. Calculatrice autoris´ee.

(Les trois exercices sont ind´ependants. Un soin tout particulier sera apport´e `a la r´edaction des r´eponses)

Exercice 1 2pts - estimation : 15’

Pour n≥1 et x∈R, on pose : f(x) =xⁿ(1−xⁿ).

Calculer f⁽ⁿ⁾(x) par deux m´ethodes, et en d´eduire la valeur de

n

X

k=0

n k

2

.

Exercice 2 13pts - estimation 2h.Capes externe de math´ematiques, session 2007, 1`ere composition.

L’objet du probl`eme est l’´etude de la suite (s_n)n≥1 d´efinie par :

∀n≥1,s_n=

n

X

k=1

1 k²

dont la limite est S.

I - Convergence de la suite 1. Premi`ere m´ethode.

(a) D´emontrer que, pour tout entier k≥2, on a la majoration 1

k² ≤ 1 k−1 −1

k. (b) D´eduisez-en que la suite (s_n)n≥1 est major´ee.

(c) D´emontrez que la suite (s_n)n≥1 converge et donnez un majorant de sa limite.

2. Deuxi`eme m´ethode.

On consid`ere la suite (tn)n≥1 d´efinie par :

∀n≥1,tn=sn+ 1 n. (a) D´emontrez que les suites (sn)n≥1 et (tn)n≥1 sont adjacentes.

(b) Donnez, en le justifiant, un encadrement d’amplitude 10⁻¹ de S.

II - Utilisation de polynˆomes

1. SoitP ∈C[X] un polynˆome de degr´e n≥1 :

P(X) =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+a_nXⁿ. Montrez que la formule permettant de calculer la somme

n

X

i=1

α_i des racines deP en fonction de ses coefficients a_k,k∈ {0, . . . , n}est donn´ee par la formule

n

X

i=1

αi =−an−1

an

. 2. (a) Soientp∈Netϕ∈R. D´emontrez l’´egalit´e

sin((2p+ 1)ϕ) =

p

X

k=0

(−1)^k

2p+ 1 2k+ 1

cos^2p−2k(ϕ) sin^2k+1(ϕ),

1/3

o`u

2p+ 1 2k+ 1

d´esigne le coefficient binomial pourk∈ {0, . . . , p}.

(On utilisera la proposition suivante :

“Pour tout entier naturel n et tout r´eel x, on a sin(nx) =Im((cos(x) +isin(x))ⁿ” avec n= 2p+ 1 et x=ϕ, ainsi que la formule du binˆome de Newton.)

(b) D´eduisez-en que, pour tout entier p∈Net tout r´eel ϕ6≡0[π], on a : sin((2p+ 1)ϕ) = sin^2p+1(ϕ)

p

X

k=0

(−1)^k

2p+ 1 2k+ 1

(cotan²(ϕ))^p−k o`u cotan(ϕ) = cos(ϕ)

sin(ϕ).

3. Soitp∈NetP ∈R[X] le polynˆome d´efini par : P(X) =

p

X

k=0

(−1)^k

2p+ 1 2k+ 1

X^p−k.

(a) Pour tout entierk∈ {1, . . . , p}, on pose γ_k = cotan² kπ

2p+ 1

. Montrez queP(γ_k) = 0 pour toutk∈ {1, . . . , p} `a l’aide de 2.(b).

(b) V´erifiez que, pour toutk∈ {1, . . . , p}, le r´eel kπ

2p+ 1 appartient `a l’intervallei 0,π

2 h

. D´eduisez- en que le polynˆome P poss`edep racines distinctes, que l’on d´eterminera.

(c) D´eduisez `a l’aide de 1. les ´egalit´es :

p

X

k=1

cotan² kπ

2p+ 1

= p(2p−1)

3 et

p

X

k=1

1 sin²

kπ 2p+ 1

= 2p(p+ 1) 3 (sachant que la premi`ere entraˆıne la seconde).

4. (a) D´emontrez, pour tout r´eelϕ∈i 0,π

2 h

, les encadrements : 0<sin(ϕ)< ϕ <tan(ϕ).

(On d´emontrera que les courbes repr´esentatives des fonctions f et g d´efinies sur h

0;π 2 h

res- pectivement parf(ϕ) = sin(ϕ) et g(ϕ) = tan(ϕ)

– admettent la mˆeme tangente enϕ= 0 de fonction affine associ´ee `a T(ϕ) =ϕet – sont respectivement concave et convexe sur l’intervalle

h 0;π

2 h

.) (b) D´eduisez-en que, pour tout entier p≥1, on a l’encadrement :

p(2p−1)

3 < (2p+ 1)² π²

p

X

k=1

1

k² < 2p(p+ 1)

3 .

(On fera apparaˆıtre dans l’in´egalit´e de la question 4. (a) l’expression cotan²(ϕ), puis cotan² kπ

2p+ 1

et enfin

p

X

k=1

cotan² kπ

2p+ 1

).

(c) D´emontrez queS = π² 6 .

5. Montrez que les suites (u_n)n≥1, (v_n)n≥1 et (w_n)n≥1 d´efinies par :

∀n≥1, un=

n

X

k=1

1

(2k)², vn=

n

X

k=1

1

(2k+ 1)², wn=

n

X

k=1

(−1)^k+1 k²

sont convergentes et d´eterminez les valeurs exactes de leurs limites, respectivement not´eesU,V et W.

2/3

Exercice 3 5pts - estimation 45’.Capes externe de math´ematiques, session 1997, 1`ere composition.

Danc ce probl`eme, α d´esigne un nombre r´eel strictement positif. On note Sα la somme de la s´erie de Riemann

∞

X

k=1

1

k^α+1, σα(n) la somme partielle

n

X

k=1

1

k^α+1 etρα(n) la somme de la s´erie reste

∞

X

k=n+1

1 k^α+1. Soit S la fonction, d´efinie surR^?₊, qui `a α associeSα.

Pour tout entierk≥1, on notef_k la fonction d´efinie surR^?+ par

∀α∈R^?+,f_k(α) = 1 k^α+1. 1. Montrez que, pour tout entier k≥1, on a les in´egalit´es

1

(k+ 1)^α+1 ≤ Z k+1

k

dt

t^α+1 ≤ 1 k^α+1. D´eduisez-en, pour tout entier n≥1, l’encadrement suivant :

1 α

1

(n+ 1)^α ≤ρα(n)≤ 1 α

1 n^α (∗).

2. Montrez que, pournfix´e, on a

S_α=σ_α(n) +◦ 1

n^α

quandα tend vers +∞. On montrera en particulier que lim

α→+∞Sα= 1.

3/3