Soit p ≥ 4 entier et a 1 , a 2 , · · · , a p réels. Pour tout k ∈ J 1, p K, on note

MPSI B 3 février 2020

Énoncé

Soit p ≥ 4 entier et a 1 , a 2 , · · · , a p réels. Pour tout k ∈ J 1, p K, on note

σ _k = X

(i

,··· ,i

)∈

1,p

k

i

<i

<···<i

a _i

a _i

· · · a _i

, S _k = X

i∈

1,p

a _i ^k .

1. Question de cours. Soit n ∈ N

.

a. Former et justier (sans utiliser de formule de Taylor) les développements limités à l'ordre n en 0 des fonctions x 7→ _1−x ¹ et x 7→ ln(1 + x) .

b. Pour tout a ∈ R, en déduire ceux de x 7→ _1−ax ¹ et x 7→ ln(1 + ax) .

2. On dénit

une fonction P par : ∀x ∈ R , P (x) = (1 + a 1 x)(1 + a 2 x) · · · (1 + a p x) . a. Former le développement limité à l'ordre 4 en 0 de P .

b. Pourquoi la fonction ln ◦P est-elle dénie au voisinage de 0 ? En utilisant la ques- tion précédente, former le développement limité à l'ordre 4 en 0 de ln ◦P . (La justication et la présentation de la composition seront évaluées.) c. Exprimer S 1 , S 2 , S 3 , S 4 en fonction de σ 1 , σ 2 , σ 3 , σ 4 .

1

D'après Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming vol 1, p 92-93

Corrigé

1. a. Pour tout x 6= 1 ,

(1 + x + · · · + x ⁿ )(1 − x) = 1 − x ⁿ⁺¹

⇒ 1

1 − x = 1 + x + · · · + x ⁿ + x ⁿ⁺¹

1 − x avec x

1 − x x ⁿ ∈ o(x ⁿ ).

On peut intégrer ce développement à l'ordre n − 1 :

− ln(1 − x) = x + x ²

2 + · · · + x ⁿ

n + o(x ⁿ )

⇒ ln(1 + x) = x − x ²

2 + · · · + (−1) ⁿ⁺¹ x ⁿ

n + o(x ⁿ ).

b. Il sut de substituer pour obtenir 1

1 − ax = 1 + ax + · · · + (ax) ⁿ + o(x ⁿ ), ln(1 + x) = ax − (ax) ²

2 + · · · + (−1) ⁿ (ax) ⁿ

n + o(x ⁿ ).

2. a. L'énoncé demande un développement limité qui mérite bien son nom car il sut de développer P (x) en se limitant au degré 4 en x . Comme dans le cours sur les relations entre coecients et racines, on obtient

P(x) = 1 + σ ₁ x + σ ₂ x ² + σ ₃ x ³ + σ ₄ x ⁴ + o(x ⁴ ).

b. La fonction ln ◦P est dénie au voisinage de 0 car P est continue et tend vers 1 en 0 . On va composer les développements limités en 0

ln(1 + u) = u − 1 2 u ² + 1

3 u ³ − 1

4 u ⁴ + o(u ⁴ )

avec u = σ 1 x + σ 2 x ² + σ 3 x ³ + σ 4 x ⁴ + o(x ⁴ ).

On a choisit un développement de ln à l'ordre 4 car (si σ 1 6= 0 ce que l'on supposera)

u ∼ σ ₁ x ⇒ u ⁴ ∼ σ ₁ ⁴ x ⁴ ⇒ o(u ⁴ ) = o(x ⁴ ).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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MPSI B 3 février 2020

On présente les calculs en tableau

u =σ ₁ x + σ ₂ x ² + σ ₃ x ³ + σ ₄ x ⁴ +o(x ⁴ )

u =σ 1 x + σ 2 x ² + σ 3 x ³ + σ 4 x ⁴ +o(x ⁴ ) ×1 u ² = σ 1 2 x ² + 2σ 1 σ 2 x ³ + (2σ 1 σ 3 + σ 2 2 )x ⁴ +o(x ⁴ ) × − 1 2 u ³ = σ ₁ ³ x ³ + 3σ 1 2 σ 2 x ⁴ +o(x ⁴ ) × 1 3

u ⁴ = σ 1 4 x ⁴ +o(x ⁴ ) × − 1

4

ln ◦P(x) = σ 1 x +

σ 2 − 1 2 σ ² ₁

x ² +

σ 3 − σ 1 σ 2 + 1 3 σ ³ ₁

x ³ +

σ ₄ − σ ₁ σ ₃ − 1

2 σ ² ₂ + σ ² ₁ σ ₂ − 1 4 σ ₁ ⁴

+ o(x ⁴ ).

c. On peut former le développement de ln ◦P en utilisant :

ln ◦P (x) = ln(1 + a ₁ x) + ln(1 + a ₂ x) + · · · + ln(1 + a _p x) ln(1 + a _i x) = a _i x − 1

2 a ² _i x ² + 1

3 a ³ _i x ³ + 1

4 a ⁴ _i x ⁴ + o(x ⁴ ).







⇒ ln ◦P (x) = S ₁ x − 1

2 S ₂ x ² + 1

3 S ₃ x ³ − 1

4 S ₄ x ⁴ + o(x ⁴ ).

Comme une fonction admet un seul développement limité à un ordre donné, on peut identier les coecients et on en tire S ₁ = σ ₁ (évident) et

S ₂ = −2σ ₂ +σ ₁ ² , S ₃ = 3σ ₃ −3σ ₁ σ ₂ +σ ³ ₁ , S ₄ = −4σ ₄ +4σ ₁ σ ₃ +2σ ² ₂ −4σ ² ₁ σ ₂ +σ ⁴ ₁ .

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