Soient A P M n,p pKq et α l P K , @ l P v 2, n w . Soit i P v 2, n w , on note L i P M n pKq la matrice dénie par

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2013-2014

Travaux dirigés - 4 Exercice 1

Soient A P M n,p pKq et α l P K , @ l P v 2, n w . Soit i P v 2, n w , on note L ⁱ P M n pKq la matrice dénie par

$ &

%

L ⁱ _kk 1, @ k P v 1, n w , L ⁱ _i1 α i ,

L ⁱ _kl 0, sinon.

Q. 1 Soit i P v 2, n w .

1. Représenter la matrice L ⁱ .

2. Calculer det L ⁱ et déterminer la matrice inverse de L ⁱ .

3. Soit j P v 2, n w , j i. Calculer L L ⁱ L ^j . Que peut-on dire de l'inverse de L . Q. 2 Soit i P v 2, n w .

1. Calculer la matrice B L ⁱ A . Quelles opérations usuelles a-t'on opéré sur la matrice A ? 2. Calculer la matrice B ± n

j 2 L ^j A . Quelles opérations usuelles a-t'on opéré sur la matrice A ? Q. 3 Application à un système linéaire. Soit bbb P K ⁿ . Montrer que

A x x x bbb ðñ

¹ n j 2

L ^j A x x x

¹ n j 2

L ^j bbb.

Exercice 2

Soit v v v P C ⁿ avec v 1 0. On note E ^{r v v v s} P M n pCq la matrice dénie par

E ^{r v v v s}

1 0 . . . . . . 0 v 2 { v 1 1 ... ...

... 0 ... ... ...

... ... ... ... 0 v n { v 1 0 . . . 0 1

Q. 1 1. Calculer le déterminant de E ^{r v v v s} .

2. Déterminer l'inverse de E ^{r v v v s} .

Soit A P M n pCq avec a _1,1 0. On note p a a a ₁ , . . . , a a a _n q les vecteurs lignes de A et A A A ₁ le premier vecteur colonne.

Q. 2 1. Calculer A ˜ E ^{r A A A}

^s A en fonction des vecteurs lignes de A.

2. Expliciter la première colonne de A ˜ .

Exercice 3

Soit p i, j q P v 1, n w ² , on note P ^{r n i,j s} P M n pCq la matrice identitée dont on a permuté les lignes i et j.

Q. 1 Dénir proprement cette matrice et la représenter.

1

Soient A P M _n pCq et B P M _n pCq . On note p a a a ₁ , . . . , a a a _n q les vecteurs lignes de A et p bbb ₁ , . . . , bbb _n q les vecteurs colonnes de B

Q. 2 1. Déterminer P ^{r n i,j s} A en fonction des vecteurs lignes de A .

2. Déterminer BP ^{r n i,j s} en fonction des vecteurs colonnes de B .

Q. 3 1. Calculer le déterminant de P ^{r n i,j s} .

2. Déterminer l'inverse de P ^{r n i,j s} .

Exercice 4

Soit A P M n pCq inversible.

Q. 1 1. Montrer qu'il existe une matrice G 1 P M n pCq telle que | det pG 1 q| 1 et G 1 A eee 1 α 1 eee 1 avec α 1 0 et eee 1 premier vecteur de la base canonique de C ⁿ .

2. Déterminer l'inverse de G 1 .

Q. 2 1. Construire, par récurrence, une matrice G P M n pCq telle que | det pGq| 1 et GA U avec U matrice triangulaire supérieure inversible.

2. Déterminer l'inverse de G .

3. Soit bbb P C ⁿ . Expliquer comment résoudre le système A x x x bbb.

Q. 3 Que peut-on dire si A est non inversible?

Q. 4 On suppose que les sous-matrices principales de A sont inversibles.

1. Montrer qu'il existe une matrice G P M n pCq triangulaire inférieure telle que g i,i 1, @ i P v 1, n w et GA U avec U matrice triangulaire supérieure inversible.

2. On note L G ^-1 . Quelles sont les propriétés de la matrice L? (on calculera les éléments diagonaux)

3. Montrer alors que la factorisation A LU est unique.

Indication : Utiliser les résultats des exercices 2 et 3

Exercice 5

Soit A P M n pRq une matrice inversible admettant une factorisation LU où L est une matrice triangulaire inférieure à diagonale unitée et U une matrice triangulaire supérieure.

Q. 1 Montrer que cette factorisation est unique.

Q. 2 1. Décrire une méthode permettant de calculer explicitement les coecients des matrices L et U . 2. [algo] Ecrire la fonction FactLU permettant de calculer les matrices L et U de la méthode précédente.

On suppose, de plus, que la matrice A est symétrique.

Q. 3 Montrer qu'il existe une unique factorisation A LDL ^t où L est une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité (i.e. L ii 1, @ i P v 1, n w) et D une matrice diagonale inversible.

Q. 4 Montrer qu'une matrice A admet une unique factorisation A LDL ^t où L est une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité et D une matrice diagonale telle que D ii ¡ 0, @ i P v 1, n w si et seulement si A est

symétrique dénie positve.

2

Q. 5 En déduire que A admet l'unique factorisation de cholesky A BB ^t où B est une matrice triangulaire inférieure telle que B _ii ¡ 0, @ i P v 1, n w si et seulement si A est symétrique dénie positve.

Q. 6 On suppose A symétrique dénie positive.

1. Décrire une méthode permettant de calculer explicitement les coecients de la matrice B précédente.

2. [algo] Ecrire la fonction Cholesky permettant de calculer la matrice B de la méthode précédente.

Exercice 6

Soit M P M n pRq une matrice symétrique dénie positive. On considère la décomposition par blocs de M :

M

A B B ^t C

où A P M p pRq avec p P v 1, n 1 w .

Q. 1 Montrer que la matrice E C B ^t A ^-1 B est symétrique dénie positive.

On considère la décomposition de Cholesky de M : M R ^t R où R est une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont strictement positifs. On écrit la décomposition de R par blocs

R

R 11 R 12

0 R 22

où R 11 P M p pRq .

Q. 2 1. Montrer que R ^t 22 R 22 E .

2. En déduire une autre démonstration du caractère symétrique dénie positive de la matrice E . Q. 3 Soit i P v 1, n w , montrer que

x inf

x x 0

xM x x x, x x x y x x x x, x x x y

1 { 2

1

}R ^-1 } ₂ ¤ r ii ¤ }R} 2 sup

x x x 0

xM x x x, x x x y x x x x, x x x y

1 { 2

(6.1) Q. 4 En déduire que

cond 2 pRq ¥ max

p i,k qPv 1,n w

r ii

r kk

.

3