Exercice. Calculer A k pour tout k ∈ N (en fonction de k, P, P −1 et des coefficients de D et J ) dans les deux cas suivants :

UPMC - L1 2010-2011 LM125

Chapitre 1 Correction du TE

Exercice. Calculer A ^k pour tout k ∈ N (en fonction de k, P, P ⁻¹ et des coefficients de D et J ) dans les deux cas suivants :

A = P ⁻¹ DP avec D =













λ ₁ 0 · · · 0 0 λ ₂ . .. .. . .. . . .. ... 0 0 · · · 0 λ _n













, λ ₁ , ...λ _n ∈ R et P ∈ GL _n ( R );

A = P ⁻¹ J P avec J =









λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1

0 0 0 λ









, λ ∈ R et P ∈ GL ₄ ( R ).

Correction. Rappel : GL n (R) d´ esigne l’ensemble des matrices carr´ ees inversibles d’ordre n.

Le premier cas est trait´ e dans le poly du cours :

A ^k = P ⁻¹ D ^k P (Th´ eor` eme 4, page 28) et

D ^k =













λ ^k ₁ 0 · · · 0 0 λ ^k ₂ . .. .. . .. . . .. ... 0 0 · · · 0 λ ^k _n













(Proposition 17, mˆ eme page)

donc pour tout k ∈ N,

A ^k = P ⁻¹













λ ^k ₁ 0 · · · 0 0 λ ^k ₂ . .. .. . .. . . .. ... 0 0 · · · 0 λ ^k _n











 P.

De mˆ eme, dans le deuxi` eme cas, pour tout k ∈ N, A ^k = P ⁻¹ J ^k P.

Il s’agit donc de calculer J ^k pour tout k ∈ N . Pour cela, on remarque que

J = N + D avec N =









0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0









et D =









λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0

0 0 0 λ









= λI ₄

1

De plus,

DN = (λI 4 )N = I 4 (λN) (d) de la Proposition 5 page 13)

= (λN )I ₄ (Proposition 6 page 13)

= N (λI ₄ ) (` a nouveau par le d) de la Proposition 5 page 13)

= N D.

Autrement dit les matrices N et D commutent. On peut donc appliquer la formule du binˆ ome (deuxi` eme ´ egalit´ e ci-dessous) :

J ^k = (N + D) ^k =

k

X

j=0

k j

N ^j D ^k−j

| {z }

(λI

4

)

^k−j

=λ

^k−j

I

4

(*)

=

k

X

j=0

k j

λ ^k−j (N ^j I 4 )

| {z }

=N

^j

(Attention ! ! (λI ₄ ) ^k−j = λ ^k−j I ₄ 6= λI ₄ . N’oubliez pas les parenth` eses !) Or un calcul rapide (vu en cours) montre que

N ² =









0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0









, N ³ =









0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0









, N ⁴ =









0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0









= 0 ₄ ,

et donc, par r´ ecurrence sur j ≥ 4,

N ^j = 0 pour tout j ≥ 4.

Ainsi, dans la somme (∗) ci-dessus, les seuls termes ´ eventuellement non nuls sont les 4 premiers j = 0, 1, 2 ou 3 (quand k ≥ 3 bien sˆ ur). On obtient donc :

J ⁰ = I ₄ (pas besoin de calcul pour ¸ ca...), J ¹ = J (l` a non plus...),

J ² =

2

X

j=0

2 j

λ ^2−j N ^j (en rempla¸ cant k par 2 dans (∗))

= 2

0

| {z }

=1

λ ² N ⁰ + 2

1

| {z }

=2

λ ¹ N ¹ + 2

2

| {z }

=1

λ ⁰ N ²

(rappel : n

k

= n!

k!(n − k)! )

= λ ²









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







 + 2λ









0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0







 +









0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0









=









λ ² 2λ 1 0 0 λ ² 2λ 1 0 0 λ ² 2λ

0 0 0 λ ²







 ,

2

et pour tout k ≥ 3,

J ^k =

k

X

j=0

k j

λ ^k−j N ^j

=

3

X

j=0

k j

λ ^k−j N ^j + 0 ₄ (puisque N ^j = 0 ₄ pour tout j ≥ 3)

= k

0

| {z }

=1

λ ^k N ⁰ + k

1

| {z }

=k

λ ^k−1 N ¹ +

k 2

| {z }

=

_2!(k−2)!^k!

=

^k(k−1)₂

λ ^k−2 N ² +

k 3

| {z }

=

_3!(k−3)!^k!

=

k(k−1)(k−2) 6

λ ^k−3 N ³

= λ ²









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







 + 2λ









0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0







 +









0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0









+ k(k − 1)(k − 2)

6 λ ^k−3









0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0









=











λ ^k kλ ^{k−1 k(k−1)} ₂ λ ^k−2 k(k−1)(k−2)

6 λ ^k−3

0 λ ^k kλ ^{k−1 k(k−1)} ₂ λ ^k−2

0 0 λ ^k kλ ^k−1

0 0 0 λ ^k









 ,

3