L1 Sciences et Techniques Semestre 1 Mathématiques M11
Examen du mardi 11 juin 2013 Calculatrices et tous documents interdits.
Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1 (Logique (2 points)). On considère la proposition :
Si tous les insectes ont six pattes alors les araignées ne sont pas des insectes.
(1) Écrire la contraposée de la proposition ci-dessus.
(2) Écrire la négation de la proposition ci-dessus.
Exercice 2 (Tracés de courbes (3 points)). On considère la fonction gaussienne suivante :
f:x7→f(x) =ex.
Tracer à main levée, dans le repère ci-contre, les courbes représentatives des fonctions :
(1) x7→ −f(x), (2) x7→f(x)−1, (3) x7→f(x−2)−3, (4) x7→f x2
+ 1.
f(x)
−5 −4 −3 −2 −1 1
−3
−2
−1 1 2 3
0 x
y
Exercice 3 (Étude d'une fonction (8 points)). Soitf la fonction d'une variable réelle dénie par f(x) = 2
1 +ex
(1) Donner le domaine de dénition de la fonction f et calculer les limites en ses extrémités.
(2) Calculer la dérivée f0 de f. Vérier que la dérivée seconde estf00(x) = 2ex(1−ex) (1 +ex)3 .
(3) La fonctionf a-t-elle un point d'inexion sur son domaine de dénition ? Déterminer les inter- valles où f est convexe et ceux oùf est concave.
(4) Étudier le signe de la dérivée f0, et donner le tableau de variations def. Indiquer si f atteint un minimum ou un maximum local sur son domaine de dénition.
(5) La courbe représentative de f admet-elle une droite asymptote en −∞? Si oui, écrire son équation.
(6) La courbe représentative def admet-elle une droite asymptote en +∞? Justier la réponse.
(7) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en x= 0. En déduire pour quelle valeur elle croise l'axe des abscisses.
(8) Tracer la courbe représentative de f ainsi que sa tangente enx= 0.
x y
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1 1 2
0
Exercice 4 (Équation diérentielle ordinaire (3 points)).
(1) Quelles sont les solutions surRde l'équation diérentielle y0(x) = 2y(x)? (2) Calculer une primitive de la fonction x7→xe−x.
(3) Quelles sont les solutions de l'équation diérentielley0(x) = 2y(x) +xex? On traitera au choix l'un des deux exercices suivants
Exercice 5 (Au choix 1 : Nombres complexes (4 points)). Racines carrées et forme trigonométrique d'un nombre complexe :
(1) Résoudre dansC l'équation
z2 = 1 +i
(2) Donner le module dez2 et l'argument principal (dans[0,2π)) dez2.
(3) Ecrire chacune de des deux solutions de l'équation sous la forme trigonométrique.
(4) Déduire de (1) et (2) la valeur de cos(π/8).
Exercice 6 (Au choix 2 : Étude de suite (4 points)). Soit aetb deux nombres réels, on considère la suite(un)n∈N dénie par
(
u0=a,
un+1 =−12un+b pour tout n≥0. (1) Rappeler la dénition d'une suite arithmétique.
(2) Pour tout n ≥ 0 on pose vn = un− 2b3. Exprimer vn+1 en fonction de vn et en déduire que (vn)n∈Nest une suite géométrique de raison q, dont on précisera la valeur.
(3) En déduire l'expressionun= (a− 2b3)qn+2b3 pour toutn.
(4) Quelles valeurs faut-il prendre pour aetban d'avoir à a la foisu1= 0 et lim
n→+∞un= 1?
