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A371 − Les nombres harmonieux

Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui-même) est un entier appelé "harmonie"

Q₁ Déterminer deux entiers harmonieux inférieurs à 2018 dont l'un a 10 diviseurs et l'autre 12 diviseurs.

Q₂ Déterminer le plus petit entier harmonieux qui admet les six premiers nombres premiers 2,3,5,7,11,13 comme facteurs premiers avec d'éventuelles multiplicités.

Q₃ Déterminer les entiers harmonieux dont les harmonies sont respectivement égales à 6,7,8,9,10 et 11.

Q₄ Démontrer qu'il existe deux entiers harmonieux qui ont la même harmonie égale à 44.

Solution

Remarques liminaires

Soit un entier N et  le nombre de ses diviseurs. Si x est un diviseur de N, y = N/x en est un aussi. Donc la moyenne harmonique H des diviseurs, définie par :

/H = (1/x) = (y)/N satisfait :

H = N/

où  désigne la somme des diviseurs de N.

On veut que divise N.

Q₁

 Si N a 10 diviseurs, il s'écrit pq⁴, p et q étant des nombres premiers. On a donc :

 = (1 + p) (1 + q + q² + q³ + q⁴) On veut que divise 10N = 10pq⁴.

Mais, comme N = pq⁴ doit être < 2018, on voit que q doit être ≤ 5.

Plus précisément :

 si q = 2, p ≤ 113

 si q = 3, p ≤ 23

 si q = 5 p ≤ 3

Soit un nombre raisonnable de cas, que l'on examinera un par un.

On trouve une seule solution : p= 31

q = 2

N = 496 Vérification N = pq⁴ = 496

La somme des diviseurs est (1+31) (1 + 2 + 4 + 8 + 16) = 992, qui divise bien 496×10.

L'harmonie est H = 5.

On notera que 496 est un nombre parfait (égal à la moitié de la somme de ses diviseurs).

 Si N a 12 diviseurs, il peut s'écrire pq⁵, p²q³ pqr² avec p, q, r nombres premiers.

 Si N = pq⁵, on a :

 = (1 + p) (1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵)

On veut que divise 12N = 12pq⁵, avec N < 2018. Il n'y a cette fois que 20 cas à examiner.

On ne trouve pas de solution.

 Si N = p²q³, on a :

 = (1 + p + p²) (1 + q + q² + q³)

On veut que divise 12N = 12 p²q³, avec N < 2018. Il n'y a cette fois que 10 cas à examiner.

On ne trouve pas de solution.

 Si N = pqr², on a :

 = (1 + p) (1 + q) (1 + r + r²)

On veut que divise 12N = 12pqr², avec N < 2018.

On trouve une solution :

p = 5 q = 7 r = 2 N = 140 Vérification N = pqr² = 140

La somme des diviseurs est (1+ 5) (1 + 7) (1 + 2 + 4) = 336, qui divise bien 140×12.

L'harmonie est H = 5.