Enoncé A371 (Diophante) Les nombres harmonieux
Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui-même) est un entier appelé "harmonie"
Q1 Déterminer deux entiers harmonieux inférieurs à 2018 dont l’un a 10 diviseurs et l’autre 12 diviseurs.
Q2 Déterminer le plus petit entier harmonieux qui admet les six premiers nombres premiers 2,3,5,7,11,13 comme facteurs premiers avec d’éventuelles multiplicités.
Q3 Déterminer les entiers harmonieux dont les harmonies sont respective- ment égales à 6,7,8,9,10 et 11.
Q4 Démontrer qu’il existe deux entiers harmonieux qui ont la même har- monie égale à 44.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je note d(n) le nombre des diviseursni de l’entier n, ets(n) leur somme.
La moyenne harmonique des ni est le rationnelh(n) défini par 1
h(n) = 1 d(n)
X
i
1 ni = 1
d(n) X
i
ni
n = s(n) nd(n).
En effet, les rationnelsn/ni parcourent l’ensemble des diviseurs den, aussi bien que les ni. Ainsih(n) =nd(n)/s(n).
Les fonctions d(n) et s(n) sont des fonctions multiplicatives ; il en est de même de h(n), qui peut être évalué à partir de la factorisation de n en puissances de nombres premiers :
h(pk) = (k+ 1)(pk+1−p)
pk+1−1 . Aucune de ces valeurs n’est entière ; il faut associer des contributions de facteurs premiers distincts pour obtenir des nombres harmonieux. On a ainsi,
– pour les puissances de 2 (2, 4, 8, . . .) : 4/3, 12/7, 32/15, . . . – pour les puissances de 3 : 3/2, 27/13, 27/10, . . .
– pour les puissances de 5 : 5/3, 75/31, 125/39, . . .
– etc.
Question 1
Un nombre parfait est tel ques(n) = 2n; son harmonie est d(n)/2. Pour un nombre parfait pair, de la formen= 2p−1(2p−1), avec 2p−1 premier (nombre premier de Mersenne), d(n) = 2p et h(n) = p. Cela fournit la réponseh=p= 5 pour le nombre parfait 496 = 24·31, qui a 10 diviseurs.
Pour avoir 12 diviseurs, les possibilités sontp2qr, p3q2, p5q; 140 = 22·5·7 est harmonieux avec la même harmonie (12/7)(5/3)(7/4) = 5.
Question 2
2·3·5·7·11·13 = 30030, et
h(30030) = (4/3)(3/2)(5/3)(7/4)(11/6)(13/7) = 715/36.
Pour faire disparaître le dénominateur, il faut ajouter des facteurs 2 et 3 dansn, avec des répercussions surd(n). Ainsi
23·32·5·7·11·13 = 360360, et
h(360360) = (32/15)(27/13)(5/3)(7/4)(11/6)(13/7) = 44.
Question 3
n h(n)
270 = 2·33·5 (4/3)(27/10)(5/3) = 6 8128 = 26·127 (448/127)(127/64) = 7 672 = 25·3·7 (64/21)(3/2)(7/4) = 8 1782 = 2·32·7·13 (4/3)(27/13)(7/4)(13/7) = 9 6200 = 23·52·31 (32/15)(75/31)(31/16) = 10 2970 = 2·33·5·11 (4/3)(27/10)(5/3)(11/6) = 11 Question 4
(12/13)360360 = 332640 = 25·33·5·7·11, et
h(332640) = (64/21)(27/10)(5/3)(7/4)(11/6) = 44 =h(360360).
