A371. Les nombres harmonieux *** Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui-même) est un entier appelé "harmonie" Q

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A371. Les nombres harmonieux ***

Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui-même) est un entier appelé "harmonie"

Q₁ Déterminer deux entiers harmonieux inférieurs à 2018 dont l'un a 10 diviseurs et l'autre 12 diviseurs.

Q₂ Déterminer le plus petit entier harmonieux qui admet les six premiers nombres premiers 2,3,5,7,11,13 comme facteurs premiers avec d'éventuelles multiplicités.

Q₃ Déterminer les entiers harmonieux dont les harmonies sont respectivement égales à 6,7,8,9,10 et 11.

Q₄ Démontrer qu'il existe deux entiers harmonieux qui ont la même harmonie égale à 44.

Résolu à l'aide d'un automate (voir annexe)

Q1 :

140 possède 12 diviseurs : 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140 Son harmonie vaut 5

496 possède 10 diviseurs : 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496 Son harmonie vaut 5

Q2 :

360360 dont la décomposition en facteurs premiers est 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 possède une harmonie de 44

Q3 :

270 harmonie = 6 8128 harmonie = 7 672 harmonie = 8 1638 harmonie = 9 6200 harmonie = 10 2970 harmonie = 11

Q4 :

332640 et 360360 ont une harmonie de 44

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Annexe :

Programme « Python » qui liste les premiers nombres harmonieux.

def liste_des_diviseurs(x):

l=[]

for i in range(int(x**0.5)+1):

d = i+1 if x%d ==0:

l.append(d) l.append(x//d) s = set(l)

ll = list(s) ll.sort() return ll def harmonie(n):

l = liste_des_diviseurs(n) nn = len(l)

s = 0

for i in range(len(l)):

s = s+1/l[i]

h = len(l)/s return h

for n in range(1,10000):

h = harmonie(n)

if abs(h - round(h)) < 0.0000001 :

print(n,round(h))