Diophante A371 Les nombres harmonieux
N étant un entier naturel non nul, la moyenne harmonique de ses diviseurs est MH (N) = N Tau (N) / Sigma (N) (Sigma est la somme des diviseurs positifs et Tau leur nombre).
Q1
496 = 24 x 31.
Tau (496) = (4 + 1) x (1 + 1) = 10 diviseurs.
Sigma (496) = ((2(4+1) – 1) x (31(1+1) – 1 )) / ((2-1) x (31 – 1)) = 25 x 31.
MH (496) = 5 est bien entière.
140 = 22 x 5 x 7.
Tau (140) = 3 x 2 x 2 = 12 diviseurs.
Sigma (140) = (7 x 24 x 48) / (1 x 4 x 6) = 24 x 3 x 7.
MH (140) = 5 est bien entière (et égale à la précédente).
Q2
Le nombre demandé est multiple de 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 = 30030.
Nous le trouvons avec le multiplicande 12.
360360 = 23 x 32 x 5 x 7 x 11 x 13.
Tau (360360) = 4 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 x 3.
Sigma (360360) = (15 x 26 x 24 x 48 x 120 x 168) / (1 x 2 x 4 x 6 x 10 x 12) = 27 x 33 x 5 x 7 x 13.
MH (360360) = 44 est bien entière.
Q3
En explorant les onze premiers nombres harmonieux, nous trouvons ceux dont les
harmonies sont 6, 7, 8, 9, 10 et 11 : ce sont respectivement 270, 8128, 672, 1638, 6200 et 2970.
Q4
Nous avons déjà trouvé à la Q2 un nombre harmonieux, 360360, dont l’harmonie est 44.
En explorant les nombres harmonieux le précédant, nous trouvons immédiatement (on divise par 13 et on multiplie par 12) le second, 332640. En effet :
332640 = 25 x 33 x 5 x 7 x 11.
Tau (360360) = 6 x 4 x 2 x 2 x 2 = 26 x 3.
Sigma (360360) = (63 x 80 x 24 x 48 x 120) / (1 x 2 x 4 x 6 x 10) = 29 x 34 x 5 x 7.
MH (332640) = 44.
Jean-Louis Legrand
