définie pour tout entier naturel n non nul par :

PanaMaths Juillet 2013

On considère la suite ( ) u

définie pour tout entier naturel n non nul par :

4 4

...

1 2

n

n n n

u = n + n + + n n

+ + +

1. Combien la somme ci-dessus comporte-t-elle de termes ? Quel est le plus grand ? Le plus petit ?

2. Déduire de la question précédente un encadrement de u

pour tout entier naturel n non nul puis calculer lim

n_→+∞

u .

Analyse

De plus en plus de termes … eux-mêmes de plus en plus petits ! Une situation générale classique qui conduit à bien des résultats ! Dans cet exercice, on peut facilement encadrer u_n (ce n’est pas toujours le cas !) et en déduire la limite de la suite.

Résolution

Question 1.

Chaque terme de la somme est de la forme

4

n

n +k où k est un entier naturel. On obtient tous les termes en faisant varier k de 1 à n. La somme

4 4 ... 4

1 2

n n n

n n n n

+ + +

+ + + comporte

donc n termes.

On a immédiatement : n⁴+ <1 n⁴+ < <2 ... n⁴+n, puis n⁴+ <1 n⁴+ < <2 ... n⁴+n et on en déduit :

4 4 ... 4

1 2

n n n

n n n n

> > >

+ + +

Le plus petit terme de la somme est donc

4

n

n +n et le plus grand

4 1

n n + .

PanaMaths Juillet 2013

Pour tout entier naturel n non nul, la somme

4 4 ... 4

1 2

n n n

n n n n

+ + +

+ + +

comporte n termes. Le plus petit est

4

n

n +n et le plus grand

4 1

n n + .

Question 2.

D’après la question précédente, pour tout entier naturel k compris entre 1 et n, on a :

4 4 4

1

n n n

n n n k n

≤ ≤

+ + +

En sommant membre à membre ces n inégalités doubles, on obtient :

4 4 4 4 4 4 4

termes égaux termes égaux

... ... ...

1 2 1 1

n n

n n n n n n n

n n n n n n n n n n

+ + ≤ + + + ≤ + +

+ + + + + + +

Soit :

2 2

4 ⁿ 4 1

n n

u

n n ≤ ≤ n

+ + .

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

2 2 2

4 4 2

3 3

4

1

1 1

1 1

1

n n n

n n n n n

n n

n

= = =

+ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ + +

Comme 1₃

lim 0

n^→+∞n = , il vient : 1₃

lim 1 1 0 1

n^→+∞ n

⎛ + ⎞= + =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et 1₃

lim 1 1

n^→+∞ +n = .

On a donc :

2

lim 4 1

n

n n n

→+∞ =

+ .

De façon similaire, on montre :

2

lim 4 1

n 1 n

→+∞ n =

+ .

On déduit (théorème d’encadrement ou « des gendarmes ») des deux résultats obtenus que la suite

( )

lim _n 1

n u

→+∞ =