Calculer, pour tout entier naturel n non nul, la somme :

PanaMaths

Décembre 2011

Calculer, pour tout entier naturel n non nul, la somme :

( )

1 0

1 1 1 1

n k

k n

S n

k k

−

=

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ∑ − + −

Analyse

Encore et toujours revenir au développement (ici à un terme près !) de la puissance d’une somme …

Résolution

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

0 0

1 1

0 0

1 1

0 1

1 0

1 1 !

1 1

1 1

1 1 ! 1 !

1 ! 1 !

1 1

1 ! 1 ! 1 ! 1 !

1 1

1 1

1

1 1

1 1 1

1

n n

k k

n

k k

n n

k k

k k

n n

k i

k i

n n

i i

i i

n n

S k k k k n k

n n

k n k n k n k

n n

k i

n n

n n

i i

n n

n

− −

= =

− −

= =

− −

= =

= =

− −

⎛ ⎞

= − + ⎜⎝ ⎟⎠= − + − −

= − − = −

+ − − + − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⎜⎝ + ⎟⎠= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − − ⎜ ⎟= − ⎢ − ⎜ ⎟− ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦

= −

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( ( ) )

( ) ^{( )}

0

1 1 1 1 1 1 1

1 1

0 1 0 1

1

n n i i n

i n

n

i n

n n

n

−

=

⎡ − ⎛ ⎞− = −⎤ ⎡ + − − ⎤

⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

= − − = − −

=

∑

Par exemple, avec n=5 :

4

( )

5 0

1 4 1

1 1 5

k k

S ₌ k k

=

∑

Soit :

5

4 1 4 1 4 1 4 1 4 1

0 2 1 3 2 4 3 5 4 5

S =⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⎛ ⎞⎜ ⎟=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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On aura ainsi remarqué que le dernier terme de la somme (1 4 4 5

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠) est égal … à la somme elle-même ! Plus généralement, si n est impair (soit n=2p+1 avec p∈`), le dernier terme de la somme vaut :

( )

(

)

( )

1

1 1

n m

n

n S

n

n n n

− ⎛ − ⎞

− + − ⎝⎜ − ⎟⎠= − = = .

En revanche, si n est pair (soit n=2p avec p∈`), le dernier terme de la somme vaut :

( )

(

)

( )

1

1 1

n m

n

n S

n

n n n

− ⎛ − ⎞ −

− + − ⎝⎜ − ⎟⎠= − = − = − . Par exemple, avec n=6 :

6

5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1

0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 6

S ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Résultat final

1

( )

0

1 1 1

1 1

n k

n k

S n

k

k n

−

=

⎛ − ⎞

=

∑