MPSI B Année 2015-2016 DM 9 pour le vendredi 29/01/16 29 juin 2019
Pour tout naturel non nul n , on désigne par D(n) l'ensemble des diviseurs de n dans N et par C(n) l'ensemble des couples de diviseurs :
C(n) =
(d 1 , d 2 ) ∈ N 2 tq d 1 d 2 = n
Une fonction arithmétique est une fonction dénie dans N ∗ et à valeurs complexes. On note F l'ensemble des fonctions arithmétiques et on dénit deux opérations notées + et ∗ ( ∗ est appelée la convolution de Dirichlet) sur F .
∀(f, g) ∈ F 2 , ∀n ∈ N ∗ :
(f + g)(n) = f (n) + g(n) (f ∗ g)(n) = X
(d
1,d
2)∈C(n)
f (d 1 )g(d 2 ) = X
d∈D(n)
f (d)g( n d ) Une fonction arithmétique f est dite multiplicative lorsque :
∀(p, q) ∈ N ∗2 , p ∧ q = 1 ⇒ f (pq) = f (p)f (q)
On dénit des fonctions arithmétiques particulières par l'image d'un naturel non nul n quelconque.
I(n) = n e 0 (n) =
( 1 si n = 1 0 si n > 1 e(n) = 1 .
d(n) est le nombre de diviseurs de n dans N.
σ(n) est la somme des diviseurs de n dans N.
fonction indicatrice d'Euler : φ(n) est le nombre de k ∈ J 1, n K premiers avec n . On pose aussi φ(1) = 1 .
fonction de Pillai (somme de pgcd) β(n) =
n
X
k=1
k ∧ n fonction de Möbius
µ(n) =
1 si n = 1
0 si n est divisible par un carré d'entier autre que 1 (−1) s si n est le produit de s nombres premiers distincts
On rappelle que 1 n'est pas un nombre premier. Ces notations sont valables dans tout le problème.
Partie I. Structure d'anneau
1. Exemples
a. Calculer β(6) . Calculer (σ ∗ µ)(12) .
b. Montrer que e∗e et I∗ e sont des fonctions dénies dans l'introduction (à préciser).
c. Soit p un nombre premier. Former une relation entre φ(p) , σ(p) , p et d(p) . Que vaut (µ ∗ e)(p m ) pour m naturel non nul ?
2. a. Montrer que l'opération ∗ est commutative.
b. Montrer que e 0 est l'élément neutre de l'opération ∗ . c. Pour tout n ∈ N ∗ , on note
T (n) =
(d 1 , d 2 , d 3 ) ∈ N 3 tq n = d 1 d 2 d 3
Démontrer, en utilisant T (n) que l'opération ∗ est associative.
Les autres propriétés se vériant facilement, on pourra utiliser dans la suite du pro- blème que (F, +, ∗) est un anneau commutatif d'élément unité e 0 .
3. Fonctions multiplicatives
a. Soit m et n deux nombres naturels non nuls et premiers entre eux. Montrer que l'application
P :
( D(m) × D(n) → D(mn) (a, b) 7→ ab est bijective.
b. Soit f et g deux fonctions multiplicatives, montrer que f ∗ g est multiplicative.
c. Montrer que les fonctions I , e 0 , e , d , σ , µ sont multiplicatives.
4. Norme d'une fonction. Pour toute fonction arithmétique f non nulle, on dénit sa norme N (f ) par
N (f) = min {k ∈ N ∗ tq f (k) 6= 0}
Soit f et g des fonctions arithmétiques non nulles, montrer que f ∗ g est non nulle et que N(f ∗ g) = N(f )N(g) .
Partie II. Inversion de Möbius et applications.
1. a. Montrer que µ ∗ e = e 0 .
b. Soit f et g deux fonctions arithmétiques, montrer que f = g ∗ e ⇔ g = f ∗ µ
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1509EMPSI B Année 2015-2016 DM 9 pour le vendredi 29/01/16 29 juin 2019
2. a. Soit n un naturel non nul, d et δ des diviseurs de n tels que n = dδ . On introduit deux ensembles
F = {k ∈ J 1, d K tq k ∧ d = 1} ∆ = {s ∈ J 1, n K tq s ∧ n = δ}
Montrer que k 7→ δk dénit une bijection de F vers ∆ . Comment s'exprime le nombre d'éléments de F ?
b. Discuter, suivant le paramètre a ∈ J 1, n K du nombre de solutions de l'équation n ∧ x = a d'inconnue x ∈ J 1, n K.
c. Montrer que I = e ∗ φ puis que φ = I ∗ µ . d. Montrer que β ∗ e = I ∗ I .
3. Théorème de Makowski a. Montrer que σ ∗ φ = I ∗ I
b. Montrer que, si n est un naturel non nul vériant φ(n) + σ(n) = nd(n) , alors n est un nombre premier.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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