Pour tout n∈ N?, on désigne par Dn l'ensemble des entiers naturels qui divisentn etPn l'ensemble des diviseurs premiers den

Problème : Fonctions arithmétiques multiplicatives.

On appelle fonction arithmétique toute application f de N^? dans C.

On dit qu'une fonction arithmétiquef est multiplicative si f(1) = 1et si∀m, n∈N^?,

m∧n= 1 ⇒ f(mn) =f(m)f(n)

.

L'objet de ce problème est d'étudier quelques fonctions arithmétiques multiplicatives classiques.

Pour tout n∈ N^?, on désigne par D_n l'ensemble des entiers naturels qui divisentn etP_n l'ensemble des diviseurs premiers den. On a donc P_n=P∩ D_n.

Dans ce problème, on utilisera sans modération la valuation p-adique.

Partie N^o1 : Généralités

On se propose d'établir ici quelques résultats arithmétiques portant ou non sur les fonctions arithmé- tiques, et qui s'avèreront utiles dans la suite du problème.

1. Soientm, n∈N^?.

(a) Justier D_m∩ D_n=D_m∧netP_m∩ P_n=P_m∧n (b) Prouver l'égalitéP_m∪ P_n=P_m∨n

(c) Que dire de P_m etP_n sim etnsont premiers entre eux ? 2. Soienta, b, c∈N tels que a∧b= 1.

(a) Montrer quea∧(bc) =a∧c.

(b) Montrer que(ab)∧c= (a∧c)×(b∧c).

3. Soientm, n∈N^? tels quem∧n= 1.

On considère l'application ψdénie de D_m× D_n dansD_mn parψ(d, δ) =dδ.

De même, soitξ l'application deD_mn dansD_m× D_ndénie par ξ(q) = (m∧q, n∧q). Montrer queψ etξ sont bien dénies et sont deux bijections réciproques l'une de l'autre.

4. Dans cette question, on se donne une fonction multiplicativef.

(a) Sim₁,· · ·, m_q sont des entiers premiers entre eux deux à deux montrer que f

q

Y

i=1

m_i

!

=

q

Y

i=1

f(m_i).

(b) Montrer quef est uniquement caractérisée par lesf(p^k), où (p, k)∈P×N^?. Partie N^o2 : Exemples de fonctions multiplicatives

Dans cette partie, on découvre quelques fonctions multiplicatives simples et classiques.

1. Pour tout n∈N^?, on note ω(n) =|P_n|, le nombre de diviseurs premiers den. (a) Montrer que pour toutz∈C^?, l'applicationf :n7→z^ω(n) est multiplicative.

(b) Que valent les f(p^k), pour tous p dans P etk dans N^??

2. Pour tout n∈N^?, on note τ(n) =|D_n|, le nombre d'entiers qui divisen. (a) Montrer l'applicationτ est multiplicative.

(b) Que valent les τ(p^k), pour tous p dans P etk dans N^?? (c) Montrer que, pour tout n∈N^?,

τ(n) = Y

p∈P

(v_p(n) + 1).

1

3. On dénit la fonction de Moëbiusn7→µ(n) de la façon suivante :

S'il existe p∈P tel quev_p(n)>2, alors µ(n) = 0 et sinonµ(n) = (−1)^ω(n).

Ainsiµ(n) = 0sinest divisible par le carré d'un entier premier, et sinonµ(n) = 1ouµ(n) =−1 selon que les facteurs premiers den (qui sont alors distincts) sont en nombre pair ou impair.

(a) Montrer que l'application µest multiplicative.

(b) Que valent les µ(p^k), pour tous p dans P etk dans N^??

4. Pour tout n∈N^?, on note σ(n) la somme des éléments de D_n (c'est-à-dire des diviseurs den.) (a) Montrer queσ est multiplicative.

(b) Que valent les σ(p^k), pour tous p dans P etk dans N^?? (c) Montrer que, pour tout n∈N^?,

σ(n) = Y

p∈P

p^vp(n)+1−1 p−1 .

5. Pour tout α∈Z, on noteσ_α(n)la somme des puissances α-ièmes des diviseurs de n. (a) Montrer queσα est multiplicative.

(b) Que valent les σ_α(p^k), pour tousp dans P et kdans N^?? (c) Exprimerσ_α(n) en fonction de la factorisation de n.

6. Pour tout m∈N^?. Justier quepm :n7→m∧n est multiplicative.

7. Pour tout n ∈ N^?, on note rad(n) le produit des éléments de P_n (c'est-à-dire des diviseurs premiers de n.)

(a) Montrer que rad est multiplicative.

(b) Que valent les rad(p^k), pour tous pdans P et kdans N^?? (c) Exprimer rad(n)en fonction de la factorisation de n. 8. Soitk∈N^?.

(a) Dans cette question, on supposek>2.

On pose A={a^k / a∈N^?}. Montrer que 1A est multiplicative.

(b) On pose B ={b∈N^? /∀p∈P, v_p(b)6k−1}. Montrer que 1B est multiplicative.

Partie N^o3 : Produit de convolution de Dirichlet

On noteA l'ensemble des fonctions arithmétiques, et Mcelui des fonctions multiplicatives.

On note Id la fonction identité de N^?, et 1 la fonction constante égale à 1sur N^?. On noteela fonction dénie sur N^? pare(1) = 1, ete(n) = 0 sin>2.

Il est clair que les applications Id, 1 etesont des éléments deM. Soient f etg deux éléments de A. Pour tout n∈N^?, on pose

(f ? g)(n) = X

d∈Dn

f(d)gn d

=X

d|n

f(d)gn d

.

On dénit ainsi une loi de composition interne sur A, appelée produit de convolution de Dirichlet.

1. Dans cette question, on montre que (A,+, ?) est un anneau commutatif.

(a) Rappeler pourquoi(A,+)est un groupe abélien.

(b) Montrer que le produit de convolution de Dirichlet est commutatif.

(c) Vérier que l'application eest élément neutre de (A, ?). 2

(d) Montrer que le produit de convolution de Dirichlet est associatif et conclure.

2. Soientf, g∈ M. Montrer que f ? g∈ M. 3. Soientf, g, h∈ M.

Montrer queh=f ? g si, et seulement si, pour toutp∈P, pour tout k∈N^?,

h(p^k) =

k

X

j=0

f(p^j)g(p^k−j).

4. Dans cette question, on en apprend un peu plus sur l'anneauA.

(a) Montrer qu'un élémentf de Aest inversible pour ? si, et seulement si,f(1)6= 0. (b) Montrer que l'anneau (A,+, ?)est intègre.

5. Montrer que(M, ?) est un groupe abélien en prouvant qu'il s'agit d'un sous-groupe de (A^?, ?).

Partie N^o4 : La formule d'inversion de Moëbius

1. Montrer que les fonctionsµ et 1 sont inverses l'une de l'autre dans le groupe(M, ?). 2. Soitf ∈ AetF dénie sur N^? par

F(n) =X

d|n

f(d).

Montrer que pour toutnde N^?, on a

f(n) =X

d|n

µ(d)Fn d

.

Cette égalité est connue sous le nom de formule d'inversion de Moëbius.

Partie N^o5 : Des applications 1. Pourn∈N^?, calculer

X

d|n

µ(d)τn d

.

2. Montrer que pour tout entier n∈N^?,

σ(n)

n =X

d|n

1 d. 3. On dit que n∈N^? est parfait siσ(n) = 2n.

Cela équivaut à dire qu'il est égal à la somme de ses diviseurs stricts.

Par exemple, 28 est parfait car la somme de ses diviseurs est1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 2×28. (a) Montrer que si 2^k−1est premier alorsn= 2^k−1(2^k−1)est parfait et pair.

(b) Réciproquement, on suppose quen est un entier parfait pair.

Montrer qu'il existe un entier ktel que n= 2^k−1(2^k−1), avec 2^k−1 premier.

4. Pour tout entiern, on note E_n l'ensemble des entiersk de{1,· · · , n}tels que k∧n= 1. On note alorsϕ(n) =|E_n|. La fonction arithmétique ϕest appelée indicateur d'Euler.

(a) On se donne un entiern, et on considèref :{1,· · · , n} → D_n dénie parf(k) =n∧k.

Montrer que chaque ddeD_n possède exactementϕ ⁿ_d

antécédents par f. 3

(b) On observant que sig est une application de E dansF alors E = G

y∈F

g⁻¹({y}),

montrer que, pour toutn∈N^?,

n=X

d|n

ϕ(d).

(c) Montrer queϕ∈ M.

(d) Que valent les ϕ(p^k), pour tous pdans P et kdans N^?? (e) En déduire que, pour toutn∈N^?,

ϕ(n) =n Y

p∈Pn

1−1

p

.

* * * FIN DU SUJET * * *

4