,n} (les bijections de l’ensemble {1

(1)

LES PERMUTATIONS

Soitn≥1.

Définition 1. L’ensemble des permutations de {1, . . . ,n} (les bijections de l’ensemble {1, . . . ,n} dans lui-même) muni de la composition des applications est appelé groupe symétrique et est noté (Sn,◦).

Remarque 2. Il est clair queSn est différent de l’ensemble vide (il suffit de constater que l’appli- cation identité définie de {1, . . . ,n} dans lui-même et notéei d, est bien un élément deSn). Pour montrer que c’est un groupe on vérifie

— i dest bien un élément neutre :i d◦s=s◦i d=s

— sisest une bijection de {1, . . . ,n} sur lui-même, d’après le cours de première année, l’applica- tion réciproque, notées⁻¹, existe et vérifies◦s⁻¹=s⁻¹◦s=i d

— la composition des applications est associative :s₁◦(s₂◦s₃)=(s₁◦s₂)◦s₃(l’écrire complète- ment).

Remarque 3. SiE est ensemble de cardinaln on parle aussi deSE, qui est isomorphe àSn. Un petit calcul de dénombrement montre que cardS_n=n! (ici c’est factorieln).

Remarque 4(Notation). En général on note une permutationσsous la forme d’un tableau à deux lignes etncolonnes :

µ 1 2 3 · · · n−1 n

σ(1) σ(2) σ(3) · · · σ(n−1) σ(n)

¶

Sin≥3,Snn’est pas un groupe abélien. Il suffit de donner un exemple dansS3

µ1 2 3

2 1 3

¶

◦

µ1 2 3

1 3 2

¶

=

µ1 2 3

2 3 1

¶ 6=

µ1 2 3

3 1 2

¶

=

µ1 2 3

1 3 2

¶

◦

µ1 2 3

2 1 3

¶

et de l’adapter dans le cas généralSnavecn≥3.

Définition 5. Soitσ∈Sn.

— iest dit point fixe deσsiσ(i)=i.

— suppσ={i ∈{1, . . . ,n};σ(i)6=i} (ce qui correspond au complémentaire de l’ensemble des points fixes).

Proposition 6. Soitσetτdeux éléments deSn. Alors

supp(σ◦τ)⊂supp(σ)∪supp(τ).

Siσetτsont à supports disjoints, c.-à.-dsupp(σ)∩supp(τ)= ;, alors

— supp(σ◦τ)=supp(σ)∪supp(τ)

— σ◦τ=τ◦σ

— siσetτvérifientσ◦τ=i dalorsσ=τ=i d.

Démonstration. Soiti∉supp(τ)∪supp(σ). Alors on ai∉supp(τ) eti∉supp(σ). Par définition du support on en déduit queτ(i)=ietσ(i)=i, d’oùτ◦σ(i)=i, ce qui donnei∉supp(σ◦τ) et donc (par contraposition) l’inclusion

supp(σ◦τ)⊂supp(σ)∪supp(τ).

Supposons queσetτsont à supports disjoints et considéronsi∈supp(τ)∪supp(σ). Comme les supports sont disjoints ou bieni∈supp(τ) eti ∉supp(σ) ou bieni ∉supp(τ) eti ∈supp(σ).

Distinguons ces deux cas

– Casi∈supp(τ) eti∉supp(σ) : commeσest une bijection et commeσ(i)=i,σ(j)=i équi- vaut à j=i. Par contraposition j6=iéquivaut àσ(j)6=i. Commei∈supp(τ),τ(i)6=i d’où σ◦τ(i)6=ieti∈supp(σ◦τ).

– Casi∉supp(τ) eti∈supp(σ) : clairementσ◦τ(i)=σ(i)6=id’oùi∈supp(σ◦τ)

On suppose toujours que les supports sont disjoints. Pour montrer queσetτcommutent il suffit de distinguer trois cas

1

(2)

— i∈supp(τ) : commei∉supp(σ), on aτ◦σ(i)=τ(i).τétant une bijection et commeτ(i)6=ion aτ◦τ(i)6=τ(i), ce qui entraîneτ(i)∈supp(τ), d’oùτ(i)∉supp(σ). On obtient doncσ◦τ(i)= τ(i).

— i∈supp(σ) : il suffit de permuter les rôles deτetσdu cas précédent

— i∉supp(σ)∪supp(τ) : le plus simple,σ(i)=ietτ(i)=i, ce qui permet de conclure Dans les trois cas on a démontré queτ◦σ(i)=σ◦τ(i) pour touti∈{1, . . . ,n}.

On suppose de plus queσ◦τ=i d. Comme les supports sont disjoints, avec une méthode simi-

laire à ce qui précède, on conclut.

Soitσ∈Snet soit<σ>le sous-groupe monogène engendré parσ:<σ>={g∈Sn;g=σ^k,k∈ Z}, qui est un commutatif et fini (carSn est fini). D’après un résultat du cours on en déduit que

<σ>est cyclique.

Définition 7. Soiti ∈{1, . . . ,n}. On appelle orbite dei parσl’ensembleΩi ={g(i) ;g∈<σ>}= {σ^k(i),k∈Z}.

Définition 8(cycle). Soitpun entier vérifiant 1≤p≤net soiti1,i2, . . . ,ipdes entiers distincts de {1, . . . ,n}. On note (i₁, . . . ,i_p) l’élémentγdeSndéfini par

γ(i)=







i sii∉{i1, . . . ,ip},

i_k+1 sii=i_kavec 1≤k≤p−1, i1 sii=ip.

Une telle permutationγ est appelé cycle (ou permutation circulaire) de longueur p, est notée (i₁, . . . ,i_p). On dit aussi que c’est unp-cycle.

Remarque 9. Dans la définition du cycle, sip=1, on constate qu’il n’y a qu’un seul cycle de longueur 1, c’est l’identité, ou encore le cycle trivial. Selon les livres on peut exclure ou non ce cas particulier dans la définition d’un cycle. Si on l’exclut tout cycle est de longueur nécessairement supérieur ou égal à 2.

Exercice 1. Montrer queσest un cycle de longueur≥2 si et seulement si il n’existe qu’une seule orbite selonσnon réduite à un singleton.

Définition 10(transposition). On appelle transposition tout cycle de longueur 2 (ou d’ordre 2).

C’est donc un élément de la formet=(i,j) aveci6=jdéfini par,t(i)=j,t(j)=i ett(k)=kpour toutk∉{i,j}. On le note (i,j) ou encoreti,j.

Théorème 11. Soitσ∈Sn(n≥2). Alorsσse décompose en σ=c1◦c2◦ · · ·cm,

oùc1, . . . ,cmsont des cycles non triviaux (de longueur≥2) à supports deux à deux disjoints. De plus cette décomposition est unique à l’ordre près (on a bien précisé que les cycles de la décomposition ne peuvent être le cycle trivial « identité »).

Proposition 12. Les orbites des éléments de{1, . . . ,n}forment une partition de{1, . . . ,n}. De plus, sii∈{1, . . . ,n}alors en posantl=min{k∈N^∗;σ^k(i)=i}on aXi={σ^k(i) ; 0≤k≤l−1}et si0≤k<

k⁰≤l−1alorsσ^k(i)6=σ^k⁰(i).

Démonstration. Clairement comme pour tout i dans {1, . . . ,n},i ∈Xi, l’ensemble des orbites re- couvrent l’ensemble {1, . . . ,n}. Pour montrer que deux orbites sont égales ou bien disjointes il suffit de montrer (par exemple) que sij∈Xi alorsXj=Xi. Soientiet j(i6=j) tel quej∈Xiet soitk≥1 tel queσ^k(i)= j. Comme j∈Xi il est clair par définition de l’orbite de l’élémenti queXj ⊂Xi. Comme le groupe monogène engendré parσest fini (Sn est lui-même fini), soitp ∈N^∗ tel que

(3)

σ^p(i)=i. En décomposant à l’aide de la division euclidiennek=q p+r on obtient j=σ^r(i) puis σ^p−r(j)=id’oùi∈XjsoitXi⊂Xj. On a démontré queXi=Xj.

Pour la deuxième propriété (qui se démontre indépendamment de la première)lest bien défini car le groupe monogène engendré parσest cyclique. Par la division euclidienne dek parl on a k=ql+ravec 0≤r<l−1 d’oùσ^k(i)=σ^ql⁺^r(i)=σ^r(σ^ql(i))=σ^r(i) d’oùXi={σ^k(i) ; 0≤k≤l−1}.

Siketk⁰sont tels que 0≤k<k⁰≤l−1 etσ^k(i)=σ^k⁰(i) le fait queσsoit une bijection entraîne que σ^k⁰^−k(i)=i, or 0<k⁰−k≤l−1, ce qui contredit la minimalité del.

Démonstration du théorème 11.

– Existence.D’après la proposition 2, soientX_i₁,X_i₂, . . . ,X_i_p lesporbites formant une partition de {1, . . . ,n}. Quitte à renuméroter, excluons les orbites réduites à un singleton (les points fixes de σ) :Xi₁,Xi₂, . . . ,Xi_psont lesporbites non réduites à un singleton mais ne forment plus une partition de {1, . . . ,n}.

Considérons l’orbiteXi_k et construisons le cycle associé à cette partition. Nous avons aussiXi_k= {σ^q(ik) ; 0≤q≤lk−1} aveclk=min{r∈N^∗;σ^r(ik)=ik}≥2. Posons alors

c_k(j)=

½j sij∉X_i_k σ(j) sij∈Xik .

L’applicationc_k ainsi définie est bien un cycleSn de longueurl_k et avec les notations du cours c_k=(i_k,σ(i_k),σ²(i_k), . . . ,σ^l^k⁻¹(i_k)).

Ainsi on a construitpcycles à supports disjoints ;c₁, . . . ,c_p. Montrons queσ=c₁◦ · · · ◦c_p. Sii est un élément de {1, . . . ,n} celui-ci est soit un point fixe (qui n’appartient à aucun desXij), soit un élément deS

1≤k≤pX_i_k. Dans le premier cas on ac_k(i)=ipour tout 1≤k≤p. Dans le second cas, comme les supports des cyclesc1, . . . ,cpsont disjoints on a, par construction descj,

c1◦ · · · ◦cp(i)=ck(i)=σ(i), D’où le résultat.

– Unicité.On suppose que l’on aσ=c1◦c2· · · ◦cp=γ1◦γ2· · · ◦γq, oùc1, . . . ,cpsont des cycles à supports disjoints de longueur≥2 et de même concernantγ1, . . . ,γq. La propriété sur la composition de permutations à supports disjoints nous donne

(1) supp(σ)=

p

[

i=1

supp(ci)=

p

[

i=1

supp(γi).

Soit Xi une orbite non réduite à un singleton. Comme dans (1) nous avons une réunion d’ensembles disjoints, il y a un uniquek tel quei ∈supp(ck) et un unique k⁰ tel que i ∈supp(γk⁰).

On peut toujours supposer, à une renumérotation près quek=k⁰=1, c’est-à-dire quei∈supp(c1) eti∈supp(γ1). Ainsiσ(i)=c1(i)=γ1(i) et pour toutk∈Non aσ^k(i)=c₁^k(i)=γ^k₁(i). Doncγ1etc1

ont pour supportX1et sont égales (les restrictions dec1et deγ1sur {1, . . . ,n} \X1sont l’identité).

De proche en proche on montre alors, à une renumérotation près, que nécessairementp=qet

ci=γi pour 1≤i≤p.

Remarque 13. La décomposition d’une permutation en produits de cycle à supports disjoints permet de simplifier certains calculs. En particulier on as^k =c₁^k◦ · · · ◦c^k_p, ce qui conduit au calcul de l’ordre d’une permutation à l’aide du pgcd des ordres des cycles de la décomposition.

Proposition 14. Le groupe symétrique est engendré par les transpositions, c’est-à-dire, toute per- mutationσse décompose en

σ=t1◦ · · · ◦tk

oùt₁,t₂, . . . ,t_ksont des transpositions.

(4)

Démonstration. Comme toute permutation se décompose en produit de cycles, il suffit de dé- montrer que tout cycle se décompose en produit de transpositions. On vérifie par exemple que si 2≤l≤n

(1, 2, . . . ,l)=(1, 2)◦(2, 3)◦ · · ·(l−1,l)

et plus généralement, sii1, . . . ,il sontlentiers distincts∈{1, . . . ,n}, le cycle (i1,i2, . . . ,il) s’écrit (i1,i2, . . . ,il)=(i1,i2)◦(i2,i3)◦ · · · ◦(il−1,il).

Définition 15. Soitn≥1 etσ∈Sn. On appelle signature deσ, notéε(σ) la quantité définie par

ε(σ)=(−1)^inv(σ)

où inv(σ)=card{(i,j)∈{1, . . . ,n} tel quei<jetσ(i)>σ(j)} (le nombre d’inversions).

Proposition 16. Soitσ∈Sn et soitx₁, . . . ,xn n nombres complexes (ou plus généralement d’un corps). Alors

Y

1≤i<j≤n

(x_σ(i)−x_σ(j))=ε(σ) Y

1≤i<j≤n

(xi−xj).

Démonstration. En utilisant le fait queσest une bijection on écrit Y

1≤i<j≤n

(x_σ(i)−x_σ(j))= Y

1≤i<j≤n σ(i)<σ(j)

(x_σ(i)−x_σ(j))× Y

1≤i<j≤n σ(j)<σ(i)

(x_σ(i)−x_σ(j))

= Y

1≤i<j≤n σ(i)<σ(j)

(x_σ(i)−x_σ(j))× Y

1≤i<j≤n σ(j)<σ(i)

(−1)(x_σ(j)−x_σ(i))

=ε(σ) Y

(x_σ(i)−x_σ(_j))× Y

1≤i<j≤n σ(j)<σ(i)

(x_σ(j)−x_σ(i))

=ε(σ) Y

(x_σ(i)−x_σ(j))× Y

1≤j<i≤n σ(i)<σ(j)

(x_σ(i)−x_σ(j))

où on a permuté les rôles dei et j dans le dernier terme de droite. Commeσest une bijection, {(k,l) ;k<l}={(σ(i),σ(j)) ;σ(i)<σ(j)}={(σ(i),σ(j)) ;σ(i)<σ(k) eti < j}∪{(σ(i),σ(j)) ;σ(i)<

σ(k) etj<i}.

Proposition 17. La signatureεest un morphisme de groupe de(Sn,◦)dans({−1, 1},×). En particulier siσetτsont deux permutations on aε(σ◦τ)=ε(σ)ε(τ).

Démonstration. Soitσetτdeux permutations et montrons queε(σ◦τ)=ε(σ)ε(τ). NotonsAl’ensemble des inversions de la permutationσ◦τ. On a

A={i<j; σ(τ(i))>σ(τ(j))}

qui se décompose enA=A1∪A2avec

A1={i<j; τ(i)<τ(j) etσ(τ(i))>σ(τ(j))}

A₂={i<j; τ(i)>τ(j) etσ(τ(i))>σ(τ(j)) }.

Notons que les ensembles A1etA2sont disjoints. SiBetC désignent respectivement l’ensemble des inversions deσet deτon observe, sachant queτest une bijection, que

B={τ(i)<τ(j); σ(τ(i))>σ(τ(j)) }=A₁∪{j<i; τ(i)<τ(j) etσ(τ(i))>σ(τ(j))}

et

C=A₂∪{i<j; τ(i)>τ(j) etσ(τ(i))<σ(τ(j))}

(5)

et que les unions sont disjointes. En changeant les indices (on permute les indicesi et j) on voit que

D={i<j; τ(i)>τ(j) etσ(τ(i))<σ(τ(j))}={j<i; τ(i)<τ(j) etσ(τ(i))>σ(τ(j))}.

Quand on somme les cardinaux des ensemblesBetC, on obtient card(A1)+card(A2)+2 card(D).

Ceci permet d’affirmer que card(A)=card(A1)+card(A2) a même parité que card(B)+card(C).

D’où la propriété sur les signatures.

Proposition 18. La signature d’une transposition vaut−1.

Démonstration. Soient a <b et t_a,b la transposition associée (qui s’écrit aussi comme le cycle (a, b)). Un couple (i,j) avec i < j réalise une inversion (i.e. ta,b(i)>ta,b(j)) si et seulement si (a ≤i <b et j =b) ou bien (i =a eta < j <b). En regardant les couples qui réalisent une in- version il apparaît que (a,i) est une inversion si et seulement (i,b) en est une aussi, ce qui donne un nombre pair d’inversions du type (i,j) avec (i=aetj6=b) ou (i6=aet j=b). Il reste à ajouter l’inversion (a,b) et au total il y a un nombre impair d’inversions, soit encoreε(ta,b)= −1.

Corollaire 19. Siσ∈Sn la parité du nombre de transpositions dans une décomposition deσen produit de transpositions est invariante (c’est-à-dire ne dépend pas de la décomposition).

Démonstration. D’après la proposition précédente, il suffit de remarquer que siσse décompose enptranspositions on aε(σ)=(−1)^p, ainsi la parité depne dépend pas de la décomposition.

On peut aussi calculer très facilement la signature d’un cycle.

Proposition 20. Sicest un cycle de longueurlalorsε(l)=(−1)^l⁺¹.

Démonstration. On décompose le cyclec=(i1,i2, . . . ,il) en produit de transposition.

ε(c)=ε((i1,i2)◦ · · ·(il−1,il))= Y

1≤k≤l−1

ε((ik,ik+1))= Y

1≤k≤l−1

(−1)=(−1)^l⁻¹=(−1)^l+1.

Définition 21. — On définit le groupe alternéAncomme le sous-groupe des permutations de Snde signature égale à 1. Commeεest un morphisme de groupeAn=ε⁻¹({1})=kerεest un sous-groupe.

— σest appelée permutation paire siε(σ)=1.

— σest appelée permutation impaire siε(σ)= −1.