Rappels sur les corps de nombres

Rappels sur les corps de nombres

SoitK uncorps de nombres: K est une extension algébrique finie deQ

K =Q(α) (théorème de l’élément primitif) P un polynôme minimal deα

n= [K :Q] =degP

α1, . . . α_r1 les racines réels de P

αr1+1,α¯r1+1, . . . , αr1+r2,α¯r1+r2 les paires de racines complexes On an=r1+2r₂.

On définitσ_i :K ,→Rparσ_i(α) =α_i,i =1, . . .r1

σ_j :K ,→C parσ_j(α) =α_r1+j et σ¯_j(α) = ¯α_r1+j,j =1, . . .r₂.

L’anneau desentiers deK est l’anneau

O_K ={x∈K est une racine d’un polynôme untaire à coefficients entiers}.

Exemple: siK =Q(√

d), oùd n’a pas de facteurs carrés, alors O_K =

(Z[√

d] si d ≡2,3 mod 4 Z[¹⁺

√ d

2 ] si d ≡1 mod 4.

Deux idéauxI,J deO_K sontéquivalentss’il existe α, β∈ O_K non nuls, tels queαI =βJ.

1. Tout idéalI deO_K est inversible: il existe α∈ O_K non nul et un idéal J⊂ O_K tels queIJ =αO_K. L’ensemble des classes d’idéaux forme un groupe Cl_K. Ce groupe est fini.

2. Tout idéal premier non nul de O_K est maximal.

3. Tout idéalI deO_K se décompose de manière unique (à une permutation près) en produit des idéaux premiers.

On peut donc définir ord_p(I) =max{n≥0|I ⊂pⁿ} et ord_p(x) comme l’odre enp de l’idéal (x).

Pourp un premier, on a pO_K =p^e₁¹. . .p^e_m^m avecp_i,i =1, . . .m idéaux premiers distincts etei ≥1.

On dit alors quep_i|p.

On a

n= [K :Q] =

m

X

i=1

e_if_pi, (1) oùf_pi = [O_K/p_i :Fp].

Formules magiques 1

I x_2P = ^xP4−2ax_4(x3^P2−8bxP+a2 P+axP+b) .

I Les polynômesP0(T,X) =4T(X³+aXT²+bT³) et

P₁(T,X) =X⁴−2aX²T²−8bXT³+a²T⁴ n’ont pas de zéro commun dansP¹: (3x²+4a)(x⁴−2ax²−8bx+a²)−(3x³− 5ax −27b)(x³+ax +b) =4a³+27b².

I Conclusion: pour Φ :P¹→P¹,Φ = (P0:P1), on a Φ(1:x_P) = (1:x_2P)et

h(2P) =h(1:x2P) =h(Φ(1,x_P)) =4h(P) +O(1).

Formules magiques 1

I x_2P = ^xP4−2ax_4(x3^P2−8bxP+a2 P+axP+b) .

I Les polynômesP0(T,X) =4T(X³+aXT²+bT³) et

P₁(T,X) =X⁴−2aX²T²−8bXT³+a²T⁴ n’ont pas de zéro commun dansP¹:

(3x²+4a)(x⁴−2ax²−8bx+a²)−(3x³− 5ax −27b)(x³+ax +b) =4a³+27b².

I Conclusion: pour Φ :P¹→P¹,Φ = (P0:P1), on a Φ(1:x_P) = (1:x_2P)et

h(2P) =h(1:x2P) =h(Φ(1,x_P)) =4h(P) +O(1).

Formules magiques 1

I x_2P = ^xP4−2ax_4(x3^P2−8bxP+a2 P+axP+b) .

I Les polynômesP0(T,X) =4T(X³+aXT²+bT³) et

P₁(T,X) =X⁴−2aX²T²−8bXT³+a²T⁴ n’ont pas de zéro commun dansP¹: (3x²+4a)(x⁴−2ax²−8bx+a²)−(3x³− 5ax −27b)(x³+ax +b) =4a³+27b².

I Conclusion: pour Φ :P¹→P¹,Φ = (P0:P1), on a Φ(1:x_P) = (1:x_2P)et

h(2P) =h(1:x2P) =h(Φ(1,x_P)) =4h(P) +O(1).

Formules magiques 1

I x_2P = ^xP4−2ax_4(x3^P2−8bxP+a2 P+axP+b) .

I Les polynômesP0(T,X) =4T(X³+aXT²+bT³) et

P₁(T,X) =X⁴−2aX²T²−8bXT³+a²T⁴ n’ont pas de zéro commun dansP¹: (3x²+4a)(x⁴−2ax²−8bx+a²)−(3x³− 5ax −27b)(x³+ax +b) =4a³+27b².

I Conclusion: pour Φ :P¹→P¹,Φ = (P0:P1), on a Φ(1:x_P) = (1:x_2P)et

h(2P) =h(1:x2P) =h(Φ(1,x_P)) =4h(P) +O(1).

Formules magiques 2

I x_P+Q +xP−Q = ^2(xP+x_(x^{Q)(a+xPxQ)+4b}

P−x_Q)² .

I x_P+QxP−Q = ^(xPxQ−a)_(x^{2−4b(xP+xQ)}

P−xQ)² .

I Les polynômes homogènes

U²−4TV,2U(aT +V) +4bT²,(aT −V)²−4bTU n’ont pas de zéro commun dans P²_k.

I Soit Φ(T,U,V) :P²→P²,(T :U :V)7→(U²−4TV : 2U(aT +V) +4bT² : (aT −V)²−4bTU) on a

h(Φ(x)) =2h(x) +O(1). Soient

ψ: (E\0_E)² →P² (P,Q)7→(1:x_P+x_Q,x_Px_Q)

et µ(P,Q) = (P+Q,P −Q). On a alorsψ◦µ= Φ◦ψ.

Formules magiques 2

I x_P+Q +xP−Q = ^2(xP+x_(x^{Q)(a+xPxQ)+4b}

P−x_Q)² .

I x_P+QxP−Q = ^(xPxQ−a)_(x^{2−4b(xP+xQ)}

P−xQ)² .

I Les polynômes homogènes

U²−4TV,2U(aT +V) +4bT²,(aT −V)²−4bTU n’ont pas de zéro commun dans P²_k.

I Soit Φ(T,U,V) :P²→P²,(T :U :V)7→(U²−4TV : 2U(aT +V) +4bT² : (aT −V)²−4bTU) on a

h(Φ(x)) =2h(x) +O(1). Soient

ψ: (E\0_E)² →P² (P,Q)7→(1:x_P+x_Q,x_Px_Q)

et µ(P,Q) = (P+Q,P −Q). On a alorsψ◦µ= Φ◦ψ.

Formules magiques 2

I x_P+Q +xP−Q = ^2(xP+x_(x^{Q)(a+xPxQ)+4b}

P−x_Q)² .

I x_P+QxP−Q = ^(xPxQ−a)_(x^{2−4b(xP+xQ)}

P−xQ)² .

I Les polynômes homogènes

U²−4TV,2U(aT +V) +4bT²,(aT −V)²−4bTU n’ont pas de zéro commun dans P²_k.

I Soit Φ(T,U,V) :P²→P²,(T :U :V)7→(U²−4TV : 2U(aT +V) +4bT² : (aT −V)²−4bTU) on a

h(Φ(x)) =2h(x) +O(1).

Soient

ψ: (E\0_E)² →P² (P,Q)7→(1:x_P+x_Q,x_Px_Q) et µ(P,Q) = (P+Q,P −Q).

On a alorsψ◦µ= Φ◦ψ.

Formules magiques 2

I x_P+Q +xP−Q = ^2(xP+x_(x^{Q)(a+xPxQ)+4b}

P−x_Q)² .

I x_P+QxP−Q = ^(xPxQ−a)_(x^{2−4b(xP+xQ)}

P−xQ)² .

I Les polynômes homogènes

U²−4TV,2U(aT +V) +4bT²,(aT −V)²−4bTU n’ont pas de zéro commun dans P²_k.

I Soit Φ(T,U,V) :P²→P²,(T :U :V)7→(U²−4TV : 2U(aT +V) +4bT² : (aT −V)²−4bTU) on a

h(Φ(x)) =2h(x) +O(1).

Soient

ψ: (E\0_E)² →P² (P,Q)7→(1:x_P+x_Q,x_Px_Q)

et µ(P,Q) = (P+Q,P −Q). On a alorsψ◦µ= Φ◦ψ.

Formules magiques 2

I x_P+Q+xP−Q = ^2(xP+x_(x^{Q)(a+xPxQ)+4b}

P−x_Q)² , xP+QxP−Q = ^(xPxQ−a)_(x^{2−4b(xP+xQ)}

P−x_Q)² .

I Φ(T,U,V) = (U²−4TV :2U(aT +V) +4bT² : (aT−V)²−4bTU),ψ(P,Q) = (1:x_P +x_Q,x_Px_Q) et µ(P,Q) = (P +Q,P−Q), avecψ◦µ= Φ◦ψ.

I α, β ∈Q. Alors

1/2H(α)H(β)≤H(1:α+β:αβ)≤2H(α)H(β).

I D’oùh(ψ(P,Q)) =h(x_P) +h(x_Q) +O(1) et

h(P+Q)+h(P−Q) =h(1:x_P+Q+xP−Q :x_P+QxP−Q)+O(1) =

=h(ψ◦µ(P,Q)) +O(1) =h(Φ◦ψ(P,Q)) +O(1) =

=2h(ψ(P,Q)) +O(1) =2h(P) +2h(Q) +O(1).

Formules magiques 2

I x_P+Q+xP−Q = ^2(xP+x_(x^{Q)(a+xPxQ)+4b}

P−x_Q)² , xP+QxP−Q = ^(xPxQ−a)_(x^{2−4b(xP+xQ)}

P−x_Q)² .

I Φ(T,U,V) = (U²−4TV :2U(aT +V) +4bT² : (aT−V)²−4bTU),ψ(P,Q) = (1:x_P +x_Q,x_Px_Q) et µ(P,Q) = (P +Q,P−Q), avecψ◦µ= Φ◦ψ.

I α, β ∈Q. Alors

1/2H(α)H(β)≤H(1:α+β:αβ)≤2H(α)H(β).

I D’oùh(ψ(P,Q)) =h(x_P) +h(x_Q) +O(1) et

h(P+Q)+h(P−Q) =h(1:x_P+Q+xP−Q :x_P+QxP−Q)+O(1) =

=h(ψ◦µ(P,Q)) +O(1) =h(Φ◦ψ(P,Q)) +O(1) =

=2h(ψ(P,Q)) +O(1) =2h(P) +2h(Q) +O(1).

Formules magiques 2

I x_P+Q+xP−Q = ^2(xP+x_(x^{Q)(a+xPxQ)+4b}

P−x_Q)² , xP+QxP−Q = ^(xPxQ−a)_(x^{2−4b(xP+xQ)}

P−x_Q)² .

I Φ(T,U,V) = (U²−4TV :2U(aT +V) +4bT² : (aT−V)²−4bTU),ψ(P,Q) = (1:x_P +x_Q,x_Px_Q) et µ(P,Q) = (P +Q,P−Q), avecψ◦µ= Φ◦ψ.

I α, β ∈Q. Alors

1/2H(α)H(β)≤H(1:α+β:αβ)≤2H(α)H(β).

I D’oùh(ψ(P,Q)) =h(x_P) +h(x_Q) +O(1) et

h(P+Q)+h(P−Q) =h(1:x_P+Q+xP−Q :x_P+QxP−Q)+O(1) =

=h(ψ◦µ(P,Q)) +O(1) =h(Φ◦ψ(P,Q)) +O(1) =

=2h(ψ(P,Q)) +O(1) =2h(P) +2h(Q) +O(1).