1. Soit E un ensemble. Soit A et B deux tribus sur E. Montrer que A T

L3 MAPI3 2014–2015

Partiel du 6 Novembre 2014- Dur´ ee 2h

Questions de cours

1. Soit E un ensemble. Soit A et B deux tribus sur E. Montrer que A T

B est aussi une tribu.

2. Enonc´ e le th´ eor` eme de convergence domin´ ee de Lebesgue.

3. Sur R muni de la tribu de ses bor´ eliens on consid` ere, pour a ∈ R ^∗ + fix´ e, les mesures ν ₁ (dx) := δ _a (dx), ν ₂ la mesure de comptage sur N et ν ₃ (dx) := adx. Calculer, pour k = 1, 2, 3

Z 5

0

x(1 − x)ν _k (dx).

Probl` eme

On rappelle que pour z ∈ C , exp(z) = P

n≥0 z

n! . Soit α ∈ R et x ∈ [0, 2π] on pose pour n ∈ N :

f (α, x) := exp(α cos x) g(α) :=

Z 2π

0

f (α, x)dx I _n :=

Z 2π

0

(cos x) ⁿ dx.

1) Etablir une relation de r´ ecurrence entre I n+2 et I n (n ∈ N ). En d´ eduire que, pour p ∈ N , I _2p+1 = 0 et I _2p = ₂

^π(2p)! (p!)

.

2) Montrer que, pour α ∈ R ,

g(α) = π X

p≥0

α ^2p 2 ^2p−1 (p!) ² . 3) Montrer que g est d´ erivable sur R , et que

g ⁰ (α) = Z 2π

0

cos xf(α, x)dx = π X

p≥1

α ^2p−1 2 ^2p−2 p!(p − 1)! . 4) Montrer que

1

2 g(α) = Z

0

f (α, x)dx + Z π

π 2

f(α, x)dx, et que

α→+∞ lim Z π

π 2

f (α, x)dx = lim

α→−∞

Z

0

f(α, x)dx = 0.

5) Soit β un r´ eel strictement positif, montrer que si β < 1

α→−∞ lim exp(βα) Z π

π 2

f(α, x)dx = lim

α→+∞ exp(−βα) Z

0

f (α, x)dx = +∞,

et que, si β ≥ 1 ces 2 limites sont nulles. En d´ eduire que, pour β < 1 et |α| assez grand exp(β|α|) ≤ g(α) ≤ exp(|α|).

6) Montrer que g est 2 fois d´ erivable sur R et calculer g ⁰⁰ . En d´ eduire que g est une fonction

strictement convexe sur R et tracer son graphe. Montrer que pour tout ξ ∈ R l’´ equation

g ⁰ (α) = ξ poss` ede une solution unique not´ ee α(ξ).