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Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B Année 2018-2019. DS 2 le 05/10/18 29 juin 2019

Exercice

Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

( P(E) → P (E) × P(E)

X 7→ f (X) = (A ∩ X, B ∪ X)

1. Préciser f (A) , f (A ∪ B) , f (∅) , f (B ∩ A) . Que peut-on en déduire si f est injective ? 2. Soit X une partie de E , montrer que

X = (X ∩ B) ∪ (X ∪ B) ∩ B 3. Dans cette question, on suppose B ⊂ A .

a. Montrer que :

∀(X, Y ) ∈ P(E) 2 , A ∩ X = A ∩ Y ⇒ B ∩ X = B ∩ Y b. Montrer que f est injective.

Problème 1

On dénit une application f de C − {−1} dans C et une application ϕ de R − {1} dans R par :

f (z) = 3z − 5

z + 1 , ϕ(z) = 1 + z 1 − z . 1. Tracer la représentation graphique de la fonction ϕ .

2. Montrer que f dénit une bijection de C −{−1} dans C −{3} et que z non réel entraine f (z) non réel.

3. Soit a , b des nombres complexes et k ∈ ]0, 1[ . Exprimer en fonction de a , b , k un nombre complexe u et un réel strictement positif R tels que :

∀z ∈ C , |z − a| 2 = k 2 |z − b| 2 ⇔ |z − u| 2 = R 2

4. Un nombre complexe z est dit point xe de f si et seulement si f (z) = z .

Déterminer les points xes de f . On notera z 1 celui dont la partie imaginaire est strictement positive et z 2 l'autre. On note Z 1 et Z 2 les points d'axes z 1 et z 2 . 5. Exprimer f (z) − z 1

f (z) − z 2 en fonction de z − z 1

z − z 2 .

6. Soit k ∈]0, 1[ .

a. Montrer que l'ensemble des points dont l'axe z vérie

z − z 1 z − z 2

= k

est un cercle (noté C k ).

b. Calculer les coordonnées du centre de C k et des points d'intersection avec la droite (Z 1 , Z 2 ) . Exprimer les deuxièmes coordonnées à l'aide de ϕ .

7. a. Soit z un nombre complexe non réel et n un entier naturel, montrer que tous les points d'axes

z, f (z), f ◦ f (z), · · · , f ◦ · · · ◦ f

| {z }

n fois

(z)

sont sur un même cercle.

b. Préciser ce cercle pour z = 1 + i . Le dessiner en portant les points d'intersection avec la droite (Z 1 Z 2 ) et les points d'axes z et f (z) .

Problème 2

Pour tous n ∈ N et (a 1 , · · · , a n ) ∈ ]0, 1[ n , on appelle produits de Weierstrass les expres- sions

P n =

n

Y

k=1

(1 + a k ), M n =

n

Y

k=1

(1 − a k ).

On note aussi S n = a 1 + a 2 + · · · + a n .

L'objet de ce problème est de présenter des inégalités faisant intervenir ces objets ou des expressions analogues. Les parties sont indépendantes entre elles.

Partie I. Inégalités classiques.

1. Encadrement de M n .

a. Montrer par récurrence que 1 − S n ≤ M n . b. Montrer par récurrence que M n1+S 1

n

. 2. Encadrement de P n .

a. Montrer que 1 + S n ≤ P n .

b. On suppose S n < 1 , montrer que P n1−S 1

n

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1802E

(2)

MPSI B Année 2018-2019. DS 2 le 05/10/18 29 juin 2019

3. a. Pour (x 1 , · · · , x n ) ∈ ]0, +∞[ n et (y 1 , · · · , y n ) ∈ ]0, +∞[ n , montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz

n

X

i=1

x i y i

! 2

n

X

i=1

x 2 i

! n X

i=1

y 2 i

!

en utilisant

t 7→

n

X

i=1

(tx i + y i ) 2 .

b. Soit (a 1 , · · · , a n ) ∈ ]0, 1[ n tel que a 1 + · · · + a n = 1 . En remarquant que a i = ( √

a i ) 2 , montrer que

n 2

n

X

i=1

1 a i

en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Partie II. Images et fonctions.

Dans cette partie, on note I = ]0, 1[ et on considère P =

(1 − x)(1 − y)(1 − z)

xyz tq (x, y, z) ∈ I 3 et x + y + z = 1

.

1. En considérant un système d'équations aux inconnues réelles u , v , w , préciser des réels a , b , c tels que

∀z ∈ I, (1 + z) 2

z(1 − z) = a + b z + c

1 − z .

L'unicité du triplet (a, b, c) n'est pas demandée. Dans votre rédaction, toute proposition induisant l'unicité dévalorisera votre copie. Soyez attentif au sens des implications que vous écrirez.

2. Former le tableau de variations de la fonction g de I dans R dénie par :

∀z ∈ I, g(z) = (1 + z) 2 z(1 − z) .

3. Pour tout z ∈ ]0, 1[ , on dénit une fonction f z de ]0, 1 − z[ (noté I z ) dans R par

∀t ∈ I z , f z (t) = K z 1

t − 1 1

1 − z − t − 1

avec K z = 1 z − 1.

Former le tableau de variations de f z .

4. a. Rappeler la dénition de f z (I z ) avec des quanticateurs.

b. Montrer que

P = [

z∈I

f z (I z ) = [

z∈I

[ g(z), +∞[ = [8, +∞[ .

c. Montrer que

∀(x, y, z) ∈ I 3 , x + y + z = 1 ⇒ 8xyz ≤ (1 − x)(1 − y)(1 − z).

Partie III. Inégalité de Ky Fan.

Dans cette partie, on veut montrer l'inégalité de Ky Fan pour tout n ∈ N : F n : ∀(a 1 , · · · , a n ) ∈

0, 1

2 n

, Q n

i=1 a i Q n

i=1 (1 − a i ) ≤

P n i=1 a i P n

i=1 (1 − a i ) n

1. Preuve de F 2 .

a. Pour a, b, a 0 , b 0 réels, développer et factoriser (a + b) 2 a 0 b 0 − ab(a 0 + b 0 ) 2 . Que devient cette relation si a 0 = 1 − a et b 0 = 1 − b ?

b. Montrer F 2 . 2. Soit n ∈ N avec n ≥ 2 .

a. Montrer que F n ⇒ F 2n .

b. Montrer que F n+1 ⇒ F n . Pour a 1 , · · · , a n xés, on pourra considérer S n

n

. c. Montrer F n .

3. Dans cette question (a 1 , · · · , a n ) ∈ ]0, +∞[ n . On note A =

1 2a i

, i ∈ J 1, n K

.

a. Soit λ > 0 . Traduire la proposition

∀i ∈ J 1, n K , λa i ≤ 1 2 par une inégalité faisant intervenir max A ou min A .

b. Rappeler la dénition de la moyenne arithmétique et de la moyenne géométrique de a 1 , · · · , a n . En utilisant l'inégalité de Ky Fan (à l'exlusion de toute autre méthode), montrer une inégalité entre ces deux moyennes.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai S1802E

Références