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Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

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Academic year: 2022

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(1)

MPSI B Année 2017-2018. DM 3 pour le 06/10/17 29 juin 2019

Exercice 1

Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

( P(E) → P (E) × P(E)

X 7→ f (X) = (A ∩ X, B ∪ X)

1. Préciser f (A) , f (A ∪ B) , f (∅) , f (B ∩ A) . Que peut-on en déduire si f est injective ? 2. Soit X une partie de E , montrer que

X = (X ∩ B) ∪ (X ∪ B) ∩ B 3. Dans cette question, on suppose B ⊂ A .

a. Montrer que :

∀(X, Y ) ∈ P(E)

2

, A ∩ X = A ∩ Y ⇒ B ∩ X = B ∩ Y b. Montrer que f est injective.

Exercice 2

On considère deux systèmes de trois équations linéaires aux inconnues réelles (x, y, z) dépendant des paramètres réels a et b

(S) :

 

 

ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1

(S

0

)

 

 

x+ z+aby =b

(a − 1)z+b(1 − a)y =1 − b b(1 − a)(2 + a)y =2 − b − ab 1. Préciser les opérations élémentaires assurant que les deux systèmes sont équivalents.

2. Préciser, suivant les valeurs des paramètres a et b les ensembles de solutions. Lorsque le système admet un unique triplet solution, on ne cherchera pas à le calculer.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1703E

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