PanaMaths Septembre 2014
Soit a et b deux réels strictement positifs tels que a b < . Soit f la fonction définie par :
( )
( )
*
: ln 1
ln 1 f ax
x bx
⎧ +
⎪⎪
⎨⎪
⎪⎩
→ + +
\ \ 6
Montrer que la fonction f est croissante.
Analyse
Dans cet exercice, il convient de bien distinguer, à toutes les étapes, la variable des paramètres. S’il semble assez naturel de dériver la fonction f, il convient de choisir une expression pratique de f '
( )
x pour en étudier facilement le signe.Résolution
On a : ∀ ∈x \*+, 1+bx>1 et donc ln 1
(
+bx)
>0. Ainsi, la fonction f est bien définie sur \*+. Comme rapport de deux fonctions dérivables sur cet intervalle, elle y est elle-même dérivable et on a, pour tout réel x strictement positif :( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
ln 1 ln 1
1 1
'
ln 1
1 ln 1 1 ln 1
1 1
ln 1
1 ln 1 1 ln 1
1
1 1 ln 1
a b
bx ax
ax bx
f x
bx
bx bx ax ax
ab
ax bx b a
bx
bx bx ax ax
ab
ax bx bx b a
+ − +
+ +
= +
+ + + +
⎡ ⎤
⎢ − ⎥
+ + ⎣ ⎦
= +
+ + + +
⎡ ⎤
= + + × + ×⎢⎣ − ⎥⎦
Pour tout réel x strictement positif, on a immédiatement :
( )( ) ( ( ) )
21 0
1 1 ln 1
ab
ax bx bx
× >
+ + +
PanaMaths Septembre 2014
Il convient donc d’étudier le signe de la différence :
(
1 bx) (
ln 1 bx) (
1 ax) (
ln 1 ax)
b a
+ + + +
−
Plus précisément, comme l’énoncé demande d’établir la croissance de la fonction f, il convient de montrer que la différence précédente est positive. Soit, en définitive :
(
a b x, ,) ( )
* 3,a b(
1 bx) (
ln 1 bx) (
1 ax) (
ln 1 ax)
0b a
+
+ + + +
∀ ∈ \ < ⇒ − ≥
Soit alors x strictement positif quelconque fixé.
Considérons la fonction ϕ définie sur \*+ par :
( ) (
1) (
ln 1)
x
xt xt
t t
ϕ = + + .
ϕx est dérivable sur \*+ comme rapport de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et pour tout réel t strictement positif (attention ! On dérive par rapport à la variable t !), on a :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
ln 1 1 1 ln 1 1
' 1
ln 1 1 ln 1
ln 1
x
x xt xt x t xt xt
t xt
t
x t xt x t xt xt
t
x t xt
t ϕ
⎡ × + + + × ⎤× − + + ×
⎢ + ⎥
⎣ ⎦
=
+ + − + +
=
− +
=
En tenant compte du résultat classique : ∀ ∈y \*+,y−ln 1
(
+y)
>0, il vient immédiatement :( )
*, x' 0
t + ϕ t
∀ ∈\ >
La fonction ϕx est donc strictement croissante :
(
a b,) ( )
*+ 2,a b ϕx( )
a ϕx( ) (
b 1+ax) (
ln 1a +ax) (
1+bx) (
ln 1b +bx)
∀ ∈ \ < ⇔ < ⇔ <
On a donc finalement :
(
a b x, ,) ( )
* 3,a b(
1 bx) (
ln 1 bx) (
1 ax) (
ln 1 ax)
0b a
+
+ + + +
∀ ∈ \ < ⇒ − > ,
soit : f'
( )
x >0.En définitive, la fonction f est strictement croissante.
PanaMaths Septembre 2014
Résultat final
Pour tous réels strictement positifs a et b tels que a<b, la fonction définie sur \*+ par :
( ) ( )
( )
ln 1 ln 1 f x ax
bx
= + +
est strictement croissante.
Complément
A titre de complément, on remarquera que l’on a, pour tous réels a et b strictement positifs tels que a<b :
( )
( )
0 0
limln 1 1
ln 1
x x
ax a bx b
→>
+ = <
+ et
( )
( )
lim ln 1 1
ln 1
x
ax bx
−
→+∞
+ =
+