Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

(1)

MPSI B Année 2016-2017. DS 2 le 07/10/16 29 juin 2019

Exercice 1

Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

( P (E) → P (E) × P (E)

X 7→ f (X) = (A ∩ X, B ∪ X)

1. Préciser f (A) , f (A ∪ B) , f ( ∅ ) , f (B ∩ A) . Que peut-on en déduire si f est injective ? 2. Soit X une partie de E , montrer que

X = (X ∩ B) ∪ (X ∪ B) ∩ B 3. Dans cette question, on suppose B ⊂ A .

a. Montrer que :

∀ (X, Y ) ∈ P (E) ² , A ∩ X = A ∩ Y ⇒ B ∩ X = B ∩ Y b. Montrer que f est injective.

Exercice 2

On considère deux systèmes de trois équations linéaires aux inconnues réelles (x, y, z) dépendant des paramètres réels a et b

(S) :



 

 

ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1

(S ⁰ )



 

 

x+ z+aby =b

(a − 1)z+b(1 − a)y =1 − b b(1 − a)(2 + a)y =2 − b − ab 1. Préciser les opérations élémentaires assurant que les deux systèmes sont équivalents.

2. Préciser, suivant les valeurs des paramètres a et b les ensembles de solutions. Lorsque le système admet un unique triplet solution, on ne cherchera pas à le calculer.

Problème

Ce problème porte sur l'inégalité isopérimétrique reliant l'aire et le périmètre de certaines gures géométriques.

Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 3 et ω désigne e ⁱ

^2πⁿ

.

Un polygone (à n côtés) est un élément de C ⁿ . Par exemple Z = (z 0 , z 1 , · · · , z n−1 ) est un polygone. On convient alors que z n = z 0 .

Un polygone Z est dit équilatéral lorsque | z _j+1 − z _j | est indépendant de l'indice j entre 0 et n − 1 .

Il est dit régulier direct lorsqu'il existe a ∈ C ^∗ et b ∈ C tels que

∀ k ∈ { 0, · · · , n − 1 } , z k = aω ^k + b Il est dit régulier indirect lorsqu'il existe a ∈ C ^∗ et b ∈ C tels que

∀ k ∈ { 0, · · · , n − 1 } , z _k = a¯ ω ^k + b Un polygone régulier direct ou indirect est dit simplement régulier.

Pour un polygone

Z = (z 0 , z 1 , · · · , z n−1 )

on dénit son conjugué (noté Z ) et son translaté par c (noté Z + c avec c ∈ C) par : Z = (z 0 , z 1 , · · · , z _n−1 ), Z + c = (z 0 + c, z 1 + c, · · · , z _n−1 + c)

On dénit aussi b z 0 , z b 1 , · · · , b z n−1 , b z n par :

∀ j ∈ { 0, · · · , n } , b z _j = 1

√ n

n−1

X

k=0

(¯ ω ^j ) ^k z _k

On peut remarquer que b z n = b z 0 .

Partie I. Calculs préliminaires.

1. a. Soit k ∈ J 1, n − 1 K et ε ∈ {− 1, +1 }. Montrer que sin

kπ n

+ ε tan π n

cos kπ

n

≥ 0

b. En utilisant le tableau de variations de x → tan x − x dans un intervalle à préciser, montrer que

n tan π n

≥ π

2. Soit Z = (z 0 , · · · , z n−1 ) un polygone régulier avec a et b comme dans la dénition.

a. Montrer que Z est équilatéral.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1602E

(2)

MPSI B Année 2016-2017. DS 2 le 07/10/16 29 juin 2019

z 0 = 1 z 1 = 2i

z 2 = −1

z ₃ = −2i

Fig. 1: Un polygone à 4 côtés

b. Montrer les points dont les axes sont les z _i sont sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. Exprimer b puis a en fonction des z _i .

3. Montrer que le polygone de l'exemple de la gure 1 est équilatéral mais pas régulier.

4. Soit p ∈ Z, discuter selon p de la valeur de

√ 1 n

n−1

X

k=0

(ω ^p ) ^k

5. Soit Z = (z 0 , z 1 , · · · , z n−1 ) ∈ C ⁿ . Vérier que

∀ j ∈ { 0, · · · , n − 1 } , z _j = 1

√ n

n−1

X

k=0

(ω ^j ) ^k z b _k

Partie II. Inégalité isopérimétrique pour les polygones.

Pour tout polygone Z = (z 0 , · · · , z n−1 ) , on dénit L(Z) , E(Z) et A(Z) par : L(Z) =

n−1

X

k=0

| z _k+1 − z _k | , E(Z) =

n−1

X

k=0

| z _k+1 − z _k | ² , A(Z ) = 1 2 Im

n−1

X

k=0

z _k+1 z _k

!

Il est évident que L(Z) est le périmètre du polygone. Le réel A(Z) représente son aire algébrique mais vous ne devez ni justier ni utiliser cette propriété.

1. Soit c ∈ C et Z ∈ C ⁿ . Exprimer A(Z ) et A(Z + c) en fonction de A(Z) . 2. On suppose dans cette question seulement que Z est un polygone régulier.

a. Exprimer L(Z) , E(Z) , A(Z) en fonction de sin ^π _n

ou de sin ^2π _n b. En déduire les rapports

| A(Z ) | L(Z ) ²

| A(Z) | E(Z )

L(Z) ² E(Z)

3. Soit Z ∈ C ⁿ . Montrer que L(Z) ² ≤ nE(Z ) . Sous quelle condition sur Z a-t-on l'égalité ? 4. Soit Z ∈ C ⁿ .

a. Établir les relations A(Z) = 1

2 n−1

X

k=0

sin 2kπ

n

| z b k | ² E(Z ) = 4

n−1

X

k=0

sin ² kπ

n

| b z k | ² b. Montrer que

E(Z ) − 4 tan π n

A(Z ) = 4

n−1

X

k=0

sin kπ

n sin kπ

n

− tan π n

cos kπ

n

|b z k | ² c. Montrer que

| A(Z) |

E(Z) ≤ 1 4 tan ^π _n 5. On admet qu'il existe Z 0 ∈ C ⁿ tel que :

∀ Z ∈ C ⁿ : | A(Z ) |

L(Z) ² ≤ | A(Z 0 ) | L(Z ₀ ) ²

a. Soit (z ₀ , · · · , z _n−1 ) = Z ₀ et j entier entre 0 et n − 1 . On note Z ₁ le polygone obtenu à partir de Z en remplaçant z _j par z _j + λ(z _j+1 − z _j−1 ) (avec un λ réel) sans changer les autres valeurs. Montrer que A(Z ₁ ) = A(Z ₀ ) .

b. Montrer que Z 0 est équilatéral.

c. Montrer l'inégalité isopérimétrique pour les polygones :

∀ Z ∈ C ⁿ , 4π | A(Z ) | ≤ L(Z) ²

Ce qui prouve l'inégalité demandée pour le cas des polygones. Cette inégalité se généralise à d'autres courbes.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai S1602E

Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

MPSI B Année 2016-2017. DS 2 le 07/10/16 29 juin 2019

Exercice 1

Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

( P (E) → P (E) × P (E)

X 7→ f (X) = (A ∩ X, B ∪ X)

1. Préciser f (A) , f (A ∪ B) , f ( ∅ ) , f (B ∩ A) . Que peut-on en déduire si f est injective ? 2. Soit X une partie de E , montrer que

X = (X ∩ B) ∪ (X ∪ B) ∩ B 3. Dans cette question, on suppose B ⊂ A .

a. Montrer que :

∀ (X, Y ) ∈ P (E) 2 , A ∩ X = A ∩ Y ⇒ B ∩ X = B ∩ Y b. Montrer que f est injective.

Exercice 2

On considère deux systèmes de trois équations linéaires aux inconnues réelles (x, y, z) dépendant des paramètres réels a et b

(S) :



 

 

ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1

(S 0 )



 

 

x+ z+aby =b

(a − 1)z+b(1 − a)y =1 − b b(1 − a)(2 + a)y =2 − b − ab 1. Préciser les opérations élémentaires assurant que les deux systèmes sont équivalents.

2. Préciser, suivant les valeurs des paramètres a et b les ensembles de solutions. Lorsque le système admet un unique triplet solution, on ne cherchera pas à le calculer.

Problème

Ce problème porte sur l'inégalité isopérimétrique reliant l'aire et le périmètre de certaines gures géométriques.

Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 3 et ω désigne e i

.

Un polygone (à n côtés) est un élément de C n . Par exemple Z = (z 0 , z 1 , · · · , z n−1 ) est un polygone. On convient alors que z n = z 0 .

Un polygone Z est dit équilatéral lorsque | z j+1 − z j | est indépendant de l'indice j entre 0 et n − 1 .

Il est dit régulier direct lorsqu'il existe a ∈ C ∗ et b ∈ C tels que

∀ k ∈ { 0, · · · , n − 1 } , z k = aω k + b Il est dit régulier indirect lorsqu'il existe a ∈ C ∗ et b ∈ C tels que

∀ k ∈ { 0, · · · , n − 1 } , z k = a¯ ω k + b Un polygone régulier direct ou indirect est dit simplement régulier.

Pour un polygone

Z = (z 0 , z 1 , · · · , z n−1 )

on dénit son conjugué (noté Z ) et son translaté par c (noté Z + c avec c ∈ C) par : Z = (z 0 , z 1 , · · · , z n−1 ), Z + c = (z 0 + c, z 1 + c, · · · , z n−1 + c)

On dénit aussi b z 0 , z b 1 , · · · , b z n−1 , b z n par :

∀ j ∈ { 0, · · · , n } , b z j = 1

√ n

n−1

X

k=0

(¯ ω j ) k z k

On peut remarquer que b z n = b z 0 .

Partie I. Calculs préliminaires.

1. a. Soit k ∈ J 1, n − 1 K et ε ∈ {− 1, +1 }. Montrer que sin

kπ n

+ ε tan π n

cos kπ

n

≥ 0

b. En utilisant le tableau de variations de x → tan x − x dans un intervalle à préciser, montrer que

n tan π n

≥ π

2. Soit Z = (z 0 , · · · , z n−1 ) un polygone régulier avec a et b comme dans la dénition.

a. Montrer que Z est équilatéral.

1

MPSI B Année 2016-2017. DS 2 le 07/10/16 29 juin 2019

z 0 = 1 z 1 = 2i

z 2 = −1

z 3 = −2i

Fig. 1: Un polygone à 4 côtés

b. Montrer les points dont les axes sont les z i sont sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. Exprimer b puis a en fonction des z i .

3. Montrer que le polygone de l'exemple de la gure 1 est équilatéral mais pas régulier.

4. Soit p ∈ Z, discuter selon p de la valeur de

√ 1 n

n−1

X

k=0

(ω p ) k

5. Soit Z = (z 0 , z 1 , · · · , z n−1 ) ∈ C n . Vérier que

∀ j ∈ { 0, · · · , n − 1 } , z j = 1

√ n

n−1

X

k=0

(ω j ) k z b k

Partie II. Inégalité isopérimétrique pour les polygones.

Pour tout polygone Z = (z 0 , · · · , z n−1 ) , on dénit L(Z) , E(Z) et A(Z) par : L(Z) =

∀ (X, Y ) ∈ P (E) ² , A ∩ X = A ∩ Y ⇒ B ∩ X = B ∩ Y b. Montrer que f est injective.

(S ⁰ )

Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 3 et ω désigne e ⁱ

Un polygone (à n côtés) est un élément de C ⁿ . Par exemple Z = (z 0 , z 1 , · · · , z n−1 ) est un polygone. On convient alors que z n = z 0 .

Un polygone Z est dit équilatéral lorsque | z _j+1 − z _j | est indépendant de l'indice j entre 0 et n − 1 .

Il est dit régulier direct lorsqu'il existe a ∈ C ^∗ et b ∈ C tels que

∀ k ∈ { 0, · · · , n − 1 } , z k = aω ^k + b Il est dit régulier indirect lorsqu'il existe a ∈ C ^∗ et b ∈ C tels que

∀ k ∈ { 0, · · · , n − 1 } , z _k = a¯ ω ^k + b Un polygone régulier direct ou indirect est dit simplement régulier.

on dénit son conjugué (noté Z ) et son translaté par c (noté Z + c avec c ∈ C) par : Z = (z 0 , z 1 , · · · , z _n−1 ), Z + c = (z 0 + c, z 1 + c, · · · , z _n−1 + c)

∀ j ∈ { 0, · · · , n } , b z _j = 1

(¯ ω ^j ) ^k z _k

z ₃ = −2i

b. Montrer les points dont les axes sont les z _i sont sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. Exprimer b puis a en fonction des z _i .

(ω ^p ) ^k

5. Soit Z = (z 0 , z 1 , · · · , z n−1 ) ∈ C ⁿ . Vérier que

∀ j ∈ { 0, · · · , n − 1 } , z _j = 1

(ω ^j ) ^k z b _k

| z _k+1 − z _k | , E(Z) =

| z _k+1 − z _k | ² , A(Z ) = 1 2 Im

z _k+1 z _k

1. Soit c ∈ C et Z ∈ C ⁿ . Exprimer A(Z ) et A(Z + c) en fonction de A(Z) . 2. On suppose dans cette question seulement que Z est un polygone régulier.

a. Exprimer L(Z) , E(Z) , A(Z) en fonction de sin ^π _n

ou de sin ^2π _n b. En déduire les rapports

| A(Z ) | L(Z ) ²

L(Z) ² E(Z)

3. Soit Z ∈ C ⁿ . Montrer que L(Z) ² ≤ nE(Z ) . Sous quelle condition sur Z a-t-on l'égalité ? 4. Soit Z ∈ C ⁿ .

| z b k | ² E(Z ) = 4

sin ² kπ

| b z k | ² b. Montrer que

|b z k | ² c. Montrer que

E(Z) ≤ 1 4 tan ^π _n 5. On admet qu'il existe Z 0 ∈ C ⁿ tel que :

∀ Z ∈ C ⁿ : | A(Z ) |

L(Z) ² ≤ | A(Z 0 ) | L(Z ₀ ) ²

a. Soit (z ₀ , · · · , z _n−1 ) = Z ₀ et j entier entre 0 et n − 1 . On note Z ₁ le polygone obtenu à partir de Z en remplaçant z _j par z _j + λ(z _j+1 − z _j−1 ) (avec un λ réel) sans changer les autres valeurs. Montrer que A(Z ₁ ) = A(Z ₀ ) .

∀ Z ∈ C ⁿ , 4π | A(Z ) | ≤ L(Z) ²