Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E. Montrer : 1)

Ensembles Applications : Exercices

Exercice 1

Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E. Montrer : 1)

A

C

B

C

A

B

C.

2)

A

C

B

C

A

B

C.

3)

"

A

B

A

C

A

B

A

C

B

C.

4)

A

B

B

C

C

A

A

B

B

C

C

A

. 5)

A

C

B

C

A

B

C

A

B

C

6) A ¯ △ B ¯

A △ B

Exercice 2

Dans C on d´efinit la relation R par : z R z

z

z

1) Montrer que R est une relation d’´equivalence.

2) D´eterminer la classe d’´equivalence de chaque z de C .

Exercice 3

On d´efinit sur R la relation R par : x R y

x ²

y ²

x

y.

1) Montrer que R est une relation d’equivalence.

2) Calculer la classe d’´equivalence d’un ´el´ement x de R . Combien y-a-t-il d’´el´ements dans cette classe ?

Exercice 4

Soit

E,

un ensemble ordonn´e. On d´efinit sur P

E

-

O la relation

par :X

Y

(X

Y ou

x

X ,

y

Y x

y).

V´erifier que

est une relation d’ordre.

Exercice 5

Soient E,F et G trois ensembles, f : E

F et g : F

G deux applications ; on consid`ere l’application h : E

F

G d´efinie par :

x

E : h

x

f

x

, g

x

.

1) Montrer que si f et g sont injectives, alors h l’est aussi.

2) On suppose que f et g sont surjectives, h est-elle n´ecessairement surjective ?

Exercice 6

Soient E un ensemble et f : E

E une application telle que : f

f of of . Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective.

Exercice 7

Soient E un ensemble et p : E

E une application telle que : p

pop.

Montrer que si p est injective ou surjective, alors p

Id E .

Exercice 8

Soient E, F deux ensembles, f : E

F et g : F

E deux applications telles que : gof ogof est surjective et f ogof og est injective.

Montrer que f et g sont bijectives.

Exercice 9

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Soit X un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas de surjection de X sur l’ensemble de ses parties P

X

.

On pourra raisonner par l’absurde et consid´erer pour f : X

P

X

l’ensemble A

x

X

x

f

x

Exercice 10

Soient X, Y deux ensembles et f : X

Y une application.

1) Montrer que f est injective si et seulement si, pour tout g : Z

X et tout h : Z

X , on a f og

f oh

g

h .

2) Montrer que f est surjective si et seulement si, pour tout g : Y

Z et tout h : Y

Z , on a gof

hof

g

h .

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Correction

Exercice 1

1)

A

C

B

C

A

C ¯

B

C ¯

A

B

C ¯

A

B

C.

2) Comme 1)

3) B

A

B

B

A

C

B

A

B

C

B

A

C

C

B

A

B

C

C 4)

A

B

B

C

C

A

B

A

C

C

A

B

C

A

A

C

B

C

B

A

A

C

5)

A

C

B

C

A

C ¯

B

C ¯

A

C ¯

B ¯

C

A

C ¯

B ¯

A

C ¯

C

A

B ¯

C ¯

p

A

B

C

Et :

A

B

C

A

B ¯

C ¯

A

B

C

A

B

C

6) A ¯ △ B ¯

A ¯

B ¯ ¯

B ¯

A ¯ ¯

A ¯

B

B ¯

A

A △ B

Exercice 2

1) Soient z , z

, z

des complexes quelconques.

Reflexivit´e : z R z car

z

z

.

Sym´etrie : z R z

z

R z car

z

z

et donc

z

z

.

Transitivit´e : z R z

et z

R z

alors

z

z

z

donc z R z

. Donc R est une relation d’´equivalence.

2) La classe d’´equivalence d’un point z

C est l’ensemble des complexes qui sont en relation avec z, c’est-

`

a-dire l’ensemble des complexes dont le module est ´egal ` a

z

. G´eom´etriquement la classe d’´equivalence de z est le cerlce C de centre 0 et de rayon

z

: C =

z

e ^iθ

θ

R

Exercice 3

1) Evident, il suffit de remarquer que x R y

x ²

x

y ²

y

2) Soit x

R . On cherche les ´el´ements y de R tels que x R y. On doit donc r´esoudre l’´equation x ²

y ²

x

y.

Elle se factorise en

x

y

x y

x

y

0

x

y

x y

1

0.

La classe de x est donc ´egale ` a x, 1

x. Elle est constitu´ee de deux ´el´ements, sauf si x

1

x

x

¹ ₂ . Dans ce cas, elle est ´egale ` a ¹ 2 .

Exercice 4

Reflexivit´e : pour tout X

P

E

on a : X

X car X

X.

Antisym´etrie : pour X, Y

P

E

tels que X

Y et Y

X , alors par d´efinition de

on a :

x

X

y

Y : x

y et y

x.

Comme la relation

est une relation d’ordre alors : x

y et y

x

x

y.

Donc

x

X

y

Y : x

y ; ce qui implique que X

Y (dans ce cas en fait X est vide ou un singleton).

Transitivit´e : soit X, Y, Z

P

E

tels que X

Y et Y

Z. Si X

Y ou Y

Z , alors il est clair que X

Z.

Supposons que X et Y

Z alors :

x

X

y

Y

z

Z x

y et y

z.

alors par transitivit´e de la relation

on obtient :

x

X

z

Z : x

z Donc X

Z.

Conclusion :

est une relation d’ordre.

Exercice 5 1) Soient x, y

E.

h

x

h

y

"

f

x

f

y

g

x

g

y

x

y d`es que f ou g est injective.

2) Contre exemple : Soit E un ensemble contenant 2 ´el´ements a et b : E

a, b et consid´erant F

G

E et f

g

Id ^E surjectives (´evident).

On aura alors

x

E : h

x

Id ^E

x

, Id ^E

x

x, x

.

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On a :

a, b

E

E , mais il n’existe pas d’´el´ement x de E qui v´erifie : h

x

a, b

Donc h n’est pas n´ecessairement surjective.

Exercice 6 Si f est injective :

comme

x

E : f

f of

x

f

x

; f

f

Id E , donc f est bijective.

Si f est surjective : pour tout x

E , il existe y

E tel que x

f

y

et f

f

x

f

f

f

y

f

y

x . Donc f

f

Id E ; donc f est bijective.

Exercice 7

Si p est injective. Comme

x

E , p

p

x

p

x

. On d´eduit que p

Id E .

Si p est surjective, pour tout x

E , il existe y

E tel que x

p

y

et p

x

p

p

y

p

y

x , d’o` u p

Id E

Exercice 8

On a g

f

g

f

est surjective et

f

g

f

g est injective, donc g est bijective.

d’autre part : f

g

f

g

¹

g

f

g

f

f

g

f

g

g

¹ est donc surjective et injective, donc bijective.

En conclusion, f

g

f est bijective et g bijective, donc f est bijective.

Exercice 9

Utilisons l’indication, Si f ´etait surjective, nous pourrions trouver a

X tel que A

f

a

.

Supposons d’abord a

A ; on obtient a

f

a

et par cons´equent a

A, ce qui contredit notre hypoth`ese.

Supposons maintenant que a

A ; on obtient a

f

a

et par cons´equent a

A , ce qui contredit notre hypoth`ese.

Par cons´equent, l’´el´ement a n’appartient ni `a A, ni ` a son compl´ementaire, ce qui est impossible.

Par suite, A ne poss`ede pas d’ant´ec´edent par f , qui est donc non surjective.

Remarque : Ce sujet entre dans le cadre du ”paradoxe de Russell ” (Paradoxe du menteur).

Exercice 10 1)

Supposons d’abord f injective et soient g : Z

X et h : Z

X telles que f

g

g

h.

Alors, pour tout z de Z, on a f

g

z

f

h

z

g

z

h

z

puisque f est injective.

On a donc bien g

h .

Pour montrer l’implication r´eciproque, on proc`ede par contrapos´ee en supposant que f n’est pas injective.

Soit x

y tel que f

x

f

y

. Posons Z

0 , g

0

x et h

0

y.

Alors on a f

g

0

f

h

0

f

x

f

y

; alors que g

h .

2)

Supposons d’abord f surjective et soient g : Y

Z et h : Y

Z telles que gof

hof .

Soit y

Y . Il existe x de X tel que y

f

x

. On en d´eduit g

y

gof

x

hof

x

h

y

, ce qui prouve g

h.

Pour montrer l’implication r´eciproque, on proc`ede par contrapos´ee en supposant que f n’est pas surjective.

Il existe donc un point y 0 de Y qui n’est pas dans f

X

.

On consid`ere alors Z

0, 1 , g d´efini sur Y par g

y 0

1 et g

y

0 sinon, h d´efini sur Y par h

y

0 pour tout y.

Alors on a bien g

f

h

f (car f

x

y 0 pour tout x de X) et h

g.

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