Partie B – Points communs aux ´ el´ ements de E

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Probl` eme – Points communs ` a certaines coniques

Dans tout le probl`eme, P d´esigne le plan affine euclidien R<sup>2</sup> muni de son rep`ere orthonorm´e canonique (O,~i,~j), de son orientation canonique, et de son rep`ere polaire canonique.

On appelleraconique toute partieC (vide ou non) deP ayant une ´equation de la forme AX²+BXY +CY²+DX+EY +F = 0,

o`uA, B, C, D, E, F sont six r´eels, avec en outreA, B, C non tous nuls.

A tout (A, B, C, D, E, F` ) ´el´ement deR⁶ tel que A, B, C soient non tous nuls correspond ainsi une conique C, que l’on pourra noterC(A,B,C,D,E,F).

Partie A – Cercle inclus dans une conique

A.1On suppose queα, β, γ, δ, ε sont des r´eels tels que, pour tout r´eel θ: (∗) αcos(2θ) +βsin(2θ) +γcos(θ) +δsin(θ) +ε= 0.

Montrer qu’alorsα, β, γ, δ, εsont tous nuls.

Indication : on pourra ´evaluer (∗) pour certaines valeurs deθ, d´eriver une ou plusieurs fois (∗) par rapport `a θ, puis ´evaluer, etc.

A.2 Soit un cercle quelconque du plan P, que l’on supposera de rayon ρ >0. Montrer que si le cercle est inclus dans la coniqueC(A,B,C,D,E,F), alorsA=C et B= 0. R´eciproquement, donner une condition n´ecessaire et suffisante portant surA, D, E, F pour queC(A,0,A,D,E,F)soit un cercle de rayon non nul.

Partie B – Points communs aux ´ el´ ements de E

On noteP⁰ =P\(OY) le plan priv´e de l’axe des ordonn´ees. On noteM0 un point de coordonn´ees (x0, y0) appartenant `aP⁰.

SoitE1l’ensemble des coniquesC(A,B,C,D,E,F) satisfaisant aux quatre conditions : M₀∈ C, A=C, E= 0, F = 0.

B.1Montrer que le seul ´el´ement, not´eC1deE1 qui soit un cercle a pour ´equation : x0(X²+Y²)−(x²₀+y²₀)X= 0.

Montrer queC1est tangent `a l’axe (OY) et indiquer une construction g´eom´etrique de son centre.

B.2Montrer qu’il existe un seul ´el´ement, not´eC2, deE1 qui ait une ´equation de la forme BXY +DX= 0.

En indiquer une caract´erisation g´eom´etrique.

B.3 D´eterminer C1∩ C2. En discuter le nombre d’´el´ements. En d´eduire l’ensemble des points communs `a tous les ´el´ements deE1.

Partie C – Une transformation du plan

C.1On appelle ϕl’application deP⁰ dans P qui, au pointM de coordonn´ees polaires (ρ, θ) tel queρ6= 0 et que pour tout entier relatifk,θ6= (2k+ 1)π/2, associeM⁰ de coordonn´ees polaires ρtanθ,^π₂ −θ

.

Montrer que cette d´efinition de ϕ(M) est coh´erente, c’est-`a-dire qu’elle ne d´epend pas du choix de (ρ, θ) parmi les coordonn´ees polaires possibles du pointM.

C.2Montrer queϕ(M0) appartient `a toutes les coniques deE1. En d´eduire une construction g´eom´etrique de ϕ(M0) `a l’aide d’un cercle et d’une droite.

C.3PourM ∈P⁰, quand a-t-on ϕ(M)∈P⁰? Que dire alors deϕ◦ϕ(M) ? C.4

a On appelleγla courbe d’´equation polaire θ∈i

−π 2,π

2

i7→ρ= 2asin(θ),

o`ua∈R^∗+ est donn´e.

Reconnaˆıtreγ.

Montrer queγ⁰=ϕ(γ) est la courbe d’´equation polaireρ=r(θ), o`u rest l’applicationθ7→2a^cos_sin(θ)^2(θ). bEtudier et tracer cette courbe´ γ⁰, en :

– r´eduisant son domaine d’´etude (et en pr´ecisant le signe der sur ce domaine).

– ´etudiant la ou les branches infinies.

– pr´ecisant si cet arc pr´esente un point stationnaire.

Partie D – Centres de coniques de E

sur une conique

Dans cette question,M₀(x₀, y₀) est un point deP⁰ tel que|x0| 6=|y0|et on lui associeM₀⁰ =ϕ(M₀) comme ci-dessus.

D.1On fixe ici deux r´eels non tous nulsλetµ.

a Montrer qu’il existe un unique r´eel ν, que l’on calculera, tel que la coniqueCλ,µ d’´equation λ(X²+Y²) + 2µXY +νX= 0

appartienne `aE1.

bOn suppose ici|λ| 6=|µ|. Montrer queCλ,µ a un centre Ω_λ,µdont on d´eterminera les coordonn´ees.

D.2

a Le pointM0 restant fix´e, montrer que tous les points Ωλ,µ (o`u|λ| 6=|µ|) appartiennent `a la conique Γ d’´equation :

X²−Y²−x²₀+y₀² 2x0

X+y₀Y = 0.

bD´eterminer le type, le centre, les sommets et les axes de Γ.