Parties
D´edou
Mars 2010
La construction support
Voici la carte de visite de la construction support (pourR) supp: (R→B) → Ens
P 7→ supp(P) P 7→ {x:R|P(x)}
{x :R|P(x)} se lit
“l’ensemble des x deR v´erifiant (ou tels que) P(x)”
les ´el´ements de cet ensemble sont les r´eels v´erifiantP dans {x :R|P(x)}, la variablex est li´ee
on a donc{x:R|P(x)}={y :R|P(y)}.
Exemple
On a{x :R|x >e etx < π}=]e, π[.
Les autres constructions support
Il y a une construction support par ensemble.
Exemple
Dans un ensemble quelconqueE, on a toujours au moins la partie vide{x :E|Faux}
Ici Faux d´esigne la fonction constante deE dansB. Exo
Ecrivez la carte de visite de la construction support pourB.
Les ´ el´ ements d’un support
Comme son nom l’indique
Les ´el´ements de{x:R|P(x)} sont les r´eels v´erifiant P
On a donc la r`egle d’explicitation :
∀a:R,∀P :R→B,
a∈ {x:R|P(x)} ⇔P(a).
Exemple
On ae+π ∈ {x :R|x2 ≤x} ssi (e+π)2 ≤e+π.
Exo
Explicitez 1 +√
2∈ {x :R|x2−x−1 = 0}.
L’ensemble des parties de R
On dit que{x :R|P(x)}est une partie de R
Notation
L’ensemble de toutes les parties deR est not´e P(R).
Proposition
L’application support : (R→B)→ P(R) est bijective.
Ca veut dire que (R→B) etP(R), c’est quasiment pareil.
Et ¸ca se prouve.
Remarque
Les ´el´ements deP(R) sont des ensembles.
En vrai, les ´el´ements de tout ensemble sont des ensembles, mais on ne veut pas le savoir, c’est perturbant.
L’appartenance
Voici la carte de visite de l’appartenance dansR appartR: R× P(R) → Prop
(x,P) 7→ appart(x,P) (x,P) 7→ x ∈P
Comme on s’en doute
Il y a une appartenance par ensemble.
Exercice
Ecrivez la carte de visite de l’appartenance dansR2.
L’inclusion
Voici la carte de visite de l’inclusion dansR
⊂R: P(R)× P(R) → Prop (A,B) 7→ A⊂R
(A,B) 7→ ∀x:R,x ∈A⇒x∈B On a donc la r`egle d’explicitation de l’inclusion dans R:
∀A B :P(R),
A⊂B ⇐⇒ ∀x :R,x∈A⇒x ∈B. (ou si on pr´ef`ere :∀x :A,x ∈B).
Comme on s’en doute
il y a une inclusion⊂E pour chaque ensembleE. Exercice
Ecrivez la r`egle d’explicitation de l’inclusion dans B.
L’´ egalit´ e des parties
On sait que la r`egle d’explicitation de l’´egalit´e des fonctions s’´ecrit :
∀f g :R→R,
f =g ⇐⇒ ∀x :R,f(x) =g(x).
De mˆeme la r`egle d’explicitation de l’´egalit´e des parties s’´ecrit :
∀A B :P(R),
A=B ⇐⇒ ∀x :R,x∈A⇔x ∈B.
Constructions de parties
La construction support g´en`ere toutes les parties mais quand mˆeme on a d’autres constructions de parties :
le compl´ementaire l’intersection la r´eunion l’image
l’image r´eciproque.
Le compl´ ementaire dans R
Voici la carte de visite de la construction Compl´ementaire (pour R) Comp: P(R) → P(R)
P 7→ P
P 7→ {x :R|x ∈/P}
On a donc la r`egle d’explicitation du compl´ementaire dansR:
∀A:P(R),∀x:R,
x ∈A ⇐⇒ x ∈/A.
Exemple
On a [e, π[ =]− ∞,e[∪[π,+∞[.
Exo
Calculez [1,2].
L’intersection dans R
Voici la carte de visite de l’intersection (pourR)
∩: P(R)× P(R) → P(R) (P,Q) 7→ P∩Q
(P,Q) 7→ {x:R|x∈P et x∈Q}
On a donc la r`egle d’explicitation de l’intersection dansR :
∀A B :P(R),∀x:R,
x∈A∩B ⇐⇒ x∈Aet x∈B.
Exemple
On a [1,e[∩]2, π[=]2,e[.
Exo
Calculez [0, π[∩]2,e[.
La r´ eunion dans R
Voici la carte de visite de la r´eunion (pourR)
∪: P(R)× P(R) → P(R) (P,Q) 7→ P∪Q
(P,Q) 7→ {x :R|x ∈P ou x∈Q}
On a donc la r`egle d’explicitation de la r´eunion dans R:
∀A B :P(R),∀x:R,
x∈A∪B ⇐⇒ x ∈A oux∈B.
Exemple
On a [1,e[∪]2, π[= [1, π[.
Exo
Calculez [0, π[∪]2,e[.
Compl´ ementaire, intersection, r´ eunion, cas g´ en´ eral
Compl´ementaire, intersection, r´eunion
¸ca marche pareil avec n’importe quel ensemble `a la place de R.
Exo
Ecrivez la carte de visite du comp´ementaire dans R2.
L’image, cas particulier
Voici la carte de visite de l’image (pourf :R2→R) Imf : P(R2) → P(R)
A 7→ f(A)
A 7→ {f(x)|x ∈A}
L’image, cas g´ en´ eral
Pourf :E →F avecE et F deux ensembles quelconques Imf : P(E) → P(F)
A 7→ f(A)
A 7→ {f(x)|x∈A}
On a donc la r`egle d’explicitation de l’image :
∀E F :Ens,∀f :E →F,∀A⊂E,∀y :F,
y ∈f(A) ⇐⇒ ∃x ∈A,y =f(x).
Exemples
Exemple
Pourf :=x 7→x2, on af(]−1,2[) = [0,4[.
Exo
Calculez cos(]−1,1[).
L’image r´ eciproque
Pourf :E →F avecE et F deux ensembles quelconques f−1 : P(F) → P(E)
B 7→ f−1(B)
B 7→ {x:E|f(x)∈B}
On a donc la r`egle d’explicitation de l’image r´eciproque :
∀E F :Ens,∀f :E →F,∀B ⊂F,∀x :E,
x ∈f−1(B) ⇐⇒ f(x)∈B.
Exemples
Exemple
Pourf :=x 7→x2, on af−1(]−1,2[) =]−√ 2,√
2[.
Exo
Pourf := cos, calculezf−1([1,e[).
