( R ) , pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p}

MPSI B 20010-2011 DM 14 29 juin 2019

Exercice 1.

Soit p et q deux entiers et A ∈ M

p,q

( R ) , pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p}

et J de {1, 2, · · · , q} :

I = {i

1

, i

2

, · · · , i

s

} ⊂ {1, 2, · · · , p}

J = {j

1

, j

2

, · · · , j

t

} ⊂ {1, 2, · · · , q}

on dénit une matrice A

IJ

∈ M

s

( R ) dite extraite de A par :

∀(u, v) ∈ {1, · · · , s} × {1, · · · , t} : terme u, v de A

IJ

= a

i_uj_v

Par exemple : A =





1 2 3 4

−1 3 5 7

8 −6 −5 10



 I = {2, 3} J = {3, 4} A

_IJ

=

5 7

−5 10

L'objet de cet exercice est de montrer que le rang de A est la taille de la plus grande matrice carrée inversible extraite c'est à dire le plus grand des s pour lesquels il existe des parties à s éléments I et J telles que A

IJ

soit inversible.

Soit E un R-espace vectoriel de dimension p , soit U = {u

1

, · · · , u

p

} une base de E et V = {v

1

, · · · , v

q

} une famille de vecteurs de E tels que :

A = Mat

U

V 6= 0

_Mp,q(R)

Pour toutes parties I de {1, · · · , p} et J de {1, · · · , q} , on dénit : I est le complémentaire de I dans {1, · · · , p} .

J est le complémentaire de J dans {1, · · · , q} .

U

I

= {u

i

, i ∈ I} , E

_I

= Vect (U

I

) . On utilisera librement le fait que E

_I

et E

_I

sont des sous-espaces supplémentaires de E .

p

_I

est la projection sur E

_I

parallélement à E

_I

. V

_J

= {v

_j

, j ∈ J } , V

_J

= Vect (V

_J

) .

On dénit enn un entier r par :

il existe des parties à r éléments I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} telles que A

IJ

inversible.

pour toutes parties à r + 1 éléments I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} (s'il en existe), A

IJ

n'est pas inversible.

1. Montrer que r ≥ 1 .

2. a. Pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} , montrer que A

IJ

est la matrice dans une certaine base d'une certaine famille de vecteurs.

On précisera soigneusement l'espace vectoriel, la base et la famille.

b. En déduire que r ≤ rg(A) .

3. Pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} , montrer que la restriction de p

I

à V

J

est injective si et seulement si

E

_I

∩ V

_J

= {0

E

}

4. Soit J une partie (non vide) de {1, 2, · · · , q} telle que V

J

soit libre. Montrer que V

J

est une base de E ou que l'on peut compléter cette famille par des vecteurs de U pour former une base de E .

5. Montrer que r = rg(A) .

Exercice 2.

Soit E = (e

1

, e

2

, e

3

) une base d'un R-espace vectoriel E . On dénit trois vecteurs a

1

, a

2

, a

3

de E par :



 

 

a

1

= e

1

+ e

2

+ e

3

a

₂

= e

₁

+ e

₃

a

3

= −e

1

+ e

2

+ 2e

3

1. Montrer que

A = (a

1

, a

2

, a

3

), A

1

= (e

1

, a

2

, a

3

), A

2

= (a

1

, e

2

, a

3

) sont des bases. Préciser les matrices de passage

P

AE

, P

A1E

, P

A2E

2. On note p

1

le projecteur sur Vect(e

2

, e

3

) parallèlement à Vect(e

1

) . Calculer : Mat

E

p

1

, Mat

A

p

1

, Mat

EA

p

1

, Mat

AE

p

1

3. On note p

₂

le projecteur sur Vect(e

₂

, e

₃

) parallèlement à Vect(a

₁

) . Calculer : Mat

E

p

2

, Mat

A

p

2

, Mat

EA

p

2

, Mat

AE

p

2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M1014E