( R ) , pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p}

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soit p et q deux entiers et A ∈ M

( R ) , pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p}

et J de {1, 2, · · · , q} :

I = {i

, i

, · · · , i

} ⊂ {1, 2, · · · , p}

J = {j

, j

, · · · , j

} ⊂ {1, 2, · · · , q}

on dénit une matrice A

∈ M

( R ) dite extraite de A par :

∀(u, v) ∈ {1, · · · , s} × {1, · · · , t} : terme u, v de A

= a

Par exemple : A =





1 2 3 4

−1 3 5 7

8 −6 −5 10



 I = {2, 3} J = {3, 4} A

=

5 7

−5 10

L'objet de cet exercice est de montrer que le rang de A est la taille de la plus grande matrice carrée inversible extraite c'est à dire le plus grand des s pour lesquels il existe des parties à s éléments I et J telles que A

soit inversible.

Soit E un R-espace vectoriel de dimension p , soit U = {u

, · · · , u

} une base de E et V = {v

, · · · , v

} une famille de vecteurs de E tels que :

A = Mat

V 6= 0

Pour toutes parties I de {1, · · · , p} et J de {1, · · · , q} , on dénit : I est le complémentaire de I dans {1, · · · , p} .

J est le complémentaire de J dans {1, · · · , q} .

U

= {u

, i ∈ I} , E

= Vect (U

) . On utilisera librement le fait que E

et E

sont des sous-espaces supplémentaires de E .

p

est la projection sur E

parallélement à E

. V

= {v

, j ∈ J } , V

= Vect (V

) .

On dénit enn un entier r par :

il existe des parties à r éléments I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} telles que A

inversible.

pour toutes parties à r + 1 éléments I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} (s'il en existe), A

n'est pas inversible.

1. Montrer que r ≥ 1 .

2. a. Pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} , montrer que A

est la matrice dans une certaine base d'une certaine famille de vecteurs.

On précisera soigneusement l'espace vectoriel, la base et la famille.

b. En déduire que r ≤ rg(A) .

3. Pour toutes parties (non vides) I de {1, 2, · · · , p} et J de {1, 2, · · · , q} , montrer que la restriction de p

à V

est injective si et seulement si

E

∩ V

= {0

}

4. Soit J une partie (non vide) de {1, 2, · · · , q} telle que V

soit libre. Montrer que V

est une base de E ou que l'on peut compléter cette famille par des vecteurs de U pour former une base de E .

5. Montrer que r = rg(A) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. Comme la matrice A n'est pas la matrice nulle, il existe i et j tels que a

6= 0 . La matrice extraite A

est alors une matrice 1 × 1 inversible ce qui entraine que r (égal à la taille de la plus grande des matrices extraites inversibles) est supérieur ou égal à 1 .

2. a. On se place dans le sous-espace vectoriel E

= Vect U

.

On considère la projection p

sur E

parallèlement au sous-espace E

. La matrice extraite A

est alors la matrice dans la base U

de E

de la famille de vecteurs p

(v

) pour j ∈ J .

A

= Mat

(p

(V

))

b. Par dénition, r est le rang d'une matrice extraite de A (la plus grande possible parmi celles qui sont inversibles). Il existe donc des parties I et J à r lignes et r colonnes telles que

r = rg A

Le rang d'une famille de vecteurs images par une application linéaire est toujours inférieur ou égal au rang de la famille de départ. Le rang d'une famille extraite est évidemment inférieur ou égal au rang de la famille dont elle est extraite. On a donc :

r = rg A

= rg p

(V

) ≤ rg V

≤ rg V = rg A

3. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau ne contient que l'élé- ment nul de l'espace.

Le noyau de la restriction à un certain sous-espace d'un endomorphisme est l'intersec- tion du noyau de l'endomorphisme avec ce sous-espace.

Par dénition, le noyau de p

est E

donc le noyau de la restriction à V

de p

est E

∩ V

. On en déduit que la restriction à V

de p

est E

∩ V

est injective si et seulement si

E

∩ V

= {0

}

4. Soit J une partie de {1, 2, · · · , q} telle que V

soit libre et ne soit pas une base de E (c'est à dire q < dim E ).

Comme cette famille n'est pas une base, elle n'engendre pas E . Si tous les vecteurs de la base U étaient des combinaisons linéaires des vecteurs de U

, la famille U

engendrerait E . Il existe donc des i ∈ {1, · · · , p} tels que u

6∈ V

. Pour un tel i , la famille obtenue en ajoutant u

aux vecteurs de V

est libre.

Il existe donc des familles libres obtenues en ajoutant des vecteurs de U aux vecteurs de V

. Ces familles ont moins de dim E éléments (elles sont libres). On peut en considérer

une (disons F ) dont le nombre d'éléments soit le plus grand possible.

Pour une telle famille, on ne peut adjoindre un nouvel élément de U sans briser le caractère libre.

Cela signie que les éléments de U sont des combinaisons linéaires des éléments de F . La famille F est donc génératrice.

Comme elle est libre par dénition, c'est une base de E . 5. Notons m le rang de la matrice A .

C'est aussi le rang de la famille de vecteurs V . En considérant, parmi les familles libres formées de vecteurs de V , une qui soit la plus grande possible. On montre qu'il existe une partie J de {1, · · · , q} à m éléments telle que V

soit libre et que V

soit l'espace engendré par tous les éléments de V .

Pour une telle partie J , complétons V

par des vecteurs de U comme dans la question 4 et notons I l'ensemble des indices des vecteurs qui ne sont pas choisis.

La base de E est donc obtenue en complétant V

par U

. On remarque que I contient p − m éléments donc I contient m éléments.

Le caractère libre de cette famille entraine que E

∩ V

= {0

} donc la restriction de p

à V

est injective. On en déduit :

rg A = m = rg V

= rg p

V

= rg A

La matrice A

est une matrice carrée à m lignes et m colonnes extraite de A . Elle est inversible donc r ≥ rg A . On obtient donc bien

r = rg A

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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