MPSI B 20010-2011 Corrigé du DM 14 29 juin 2019
Exercice 1.
1. Comme la matrice A n'est pas la matrice nulle, il existe i et j tels que a ij 6= 0 . La matrice extraite A {i}{j} est alors une matrice 1 × 1 inversible ce qui entraine que r (égal à la taille de la plus grande des matrices extraites inversibles) est supérieur ou égal à 1 .
2. a. On se place dans le sous-espace vectoriel E I = Vect U I .
On considère la projection p I sur E I parallèlement au sous-espace E I . La matrice extraite A IJ est alors la matrice dans la base U I de E I de la famille de vecteurs p I (v j ) pour j ∈ J .
A IJ = Mat U
I(p I (V J ))
b. Par dénition, r est le rang d'une matrice extraite de A (la plus grande possible parmi celles qui sont inversibles). Il existe donc des parties I et J à r lignes et r colonnes telles que
r = rg A IJ
Le rang d'une famille de vecteurs images par une application linéaire est toujours inférieur ou égal au rang de la famille de départ. Le rang d'une famille extraite est évidemment inférieur ou égal au rang de la famille dont elle est extraite. On a donc :
r = rg A IJ = rg p I (V J ) ≤ rg V J ≤ rg V = rg A
3. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau ne contient que l'élé- ment nul de l'espace.
Le noyau de la restriction à un certain sous-espace d'un endomorphisme est l'intersec- tion du noyau de l'endomorphisme avec ce sous-espace.
Par dénition, le noyau de p I est E I donc le noyau de la restriction à V J de p I est E I ∩ V J . On en déduit que la restriction à V J de p I est E I ∩ V J est injective si et seulement si
E I ∩ V J = {0 E }
4. Soit J une partie de {1, 2, · · · , q} telle que V J soit libre et ne soit pas une base de E (c'est à dire q < dim E ).
Comme cette famille n'est pas une base, elle n'engendre pas E . Si tous les vecteurs de la base U étaient des combinaisons linéaires des vecteurs de U J , la famille U J engendrerait E . Il existe donc des i ∈ {1, · · · , p} tels que u i 6∈ V J . Pour un tel i , la famille obtenue en ajoutant u i aux vecteurs de V J est libre.
Il existe donc des familles libres obtenues en ajoutant des vecteurs de U aux vecteurs de V J . Ces familles ont moins de dim E éléments (elles sont libres). On peut en considérer
une (disons F ) dont le nombre d'éléments soit le plus grand possible.
Pour une telle famille, on ne peut adjoindre un nouvel élément de U sans briser le caractère libre.
Cela signie que les éléments de U sont des combinaisons linéaires des éléments de F . La famille F est donc génératrice.
Comme elle est libre par dénition, c'est une base de E . 5. Notons m le rang de la matrice A .
C'est aussi le rang de la famille de vecteurs V . En considérant, parmi les familles libres formées de vecteurs de V , une qui soit la plus grande possible. On montre qu'il existe une partie J de {1, · · · , q} à m éléments telle que V J soit libre et que V J soit l'espace engendré par tous les éléments de V .
Pour une telle partie J , complétons V J par des vecteurs de U comme dans la question 4 et notons I l'ensemble des indices des vecteurs qui ne sont pas choisis.
La base de E est donc obtenue en complétant V J par U I . On remarque que I contient p − m éléments donc I contient m éléments.
Le caractère libre de cette famille entraine que E I ∩ V J = {0 E } donc la restriction de p I à V J est injective. On en déduit :
rg A = m = rg V J = rg p I V J = rg A IJ
La matrice A IJ est une matrice carrée à m lignes et m colonnes extraite de A . Elle est inversible donc r ≥ rg A . On obtient donc bien
r = rg A
Exercice 2.
1. On demande ici de montrer que certaines familles sont des bases et de préciser les matrices de passage à partir d'une base xée. Les vecteurs de ces familles (les a i ) sont donnés comme des combinaisons linéaires des vecteurs d'une base xe (les e j ). Le plus économique est d'exprimer les e j en fonction des a i . Cela montre que la famille des a i
est génératrice (donc que c'est une base à cause du nombre d'éléments) et donne aussi la matrice de passage.
Preuve que A est une base, calcul de P AE .
On transforme par opérations élémentaires le système de relations dénissant
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1014CMPSI B 20010-2011 Corrigé du DM 14 29 juin 2019
(a 1 , a 2 , a 3 )
a 1 = e 1 + e 2 + e 3
a 2 = e 1 + e 3
a 3 = −e 1 + e 2 + 2e 3
⇔
e 1 = 1 3 a 1 + 1 3 a 2 − 1 3 a 3
e 2 = a 1 − a 2
e 3 = − 1 3 a 1 + 2 3 a 2 + 1 3 a 3
On en déduit : P EA =
1 1 −1 1 0 1 1 1 2
, P AE = 1 3
1 3 −1
1 −3 2
−1 0 1
Preuve que A 1 est une base, calcul de P A
1E . Exprimons (e 1 , e 2 , e 3 ) en fonction de (e 1 , a 2 , a 3 )
a 1 = e 1 + e 2 + e 3 a 2 = e 1 + e 3
a 3 = −e 1 + e 2 + 2e 3
⇒
e 1 = e 1 e 3 = −e 1 + a 2
e 2 = e 1 + a 3 − 2e 3
⇒
e 1 = e 1
e 2 = 3e 1 − 2a 3 + a 3
e 3 = −e 1 + a 2
P A
1E =
1 3 −1 0 −2 1
0 1 0
Preuve que A 2 est une base, calcul de P A
2E .
Exprimons (e 1 , e 2 , e 3 ) en fonction de (a 1 , e 2 , a 3 ) . On utilise l'expression des e j en fonc- tion des a i . De e 2 = a 1 −a 2 on tire a 2 = a 1 − e 2 que l'on remplace dans les deux autres relations. On obtient :
e 1 = 2 3 a 1 − 1 3 e 2 − 1 3 a 3
e 2 = e 2
e 3 = 1 3 a 1 − 2 3 e 2 + 1 3 a 3
, P A
2E = 1 3
2 0 1
−1 3 −2
−1 0 1
2. On rappelle que p 1 est le projecteur sur Vect(e 2 , e 3 ) parallélement à Vect(e 1 ) . Calcul de Mat
E p 1 . Par dénition : Mat E p 1 =
0 0 0 0 1 0 0 0 1
Calcul de Mat
A p 1 . On utilise la formule de changement de base avec les matrices de passage déjà trouvées
Mat
A p 1 = P AE Mat
E p 1 P EA
Mat A p 1 = 1 3
1 3 −1
1 −3 2
−1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 −1 1 0 1 1 1 2
= 1 3
2 −1 1
−1 2 1
1 1 2
Calcul de Mat
EA p 1 . Par dénition, p 1 (e 1 ) = 0 , p 1 (e 2 ) = e 2 , p 1 (e 3 ) = e 3 . On peut exprimer ces vecteurs dans A avec les calculs déjà faits. On obtient
Mat EA p 1 = 1 3
0 3 −1 0 −3 2
0 0 1
Calcul de Mat
AE p 1 . De a 1 = e 1 + e 2 + e 3 on déduit p 1 (a 1 ) = e 2 + e 3 . De même les autres colonnes s'obtiennent directement à partir des expressions des a i en fonction des e j .
Mat AE p 1 =
0 0 0 1 0 1 1 1 2
3. On rappelle que p 2 est le projecteur sur Vect(e 2 , e 3 ) parallèlement à Vect(a 1 ) . Calcul de Mat
E p 2 . À partir de la dénition de a 1 = e 1 + e 2 + e 3 , il vient p 2 (e 1 ) =
−e 2 − e 3 . On en déduit
Mat E p 2 =
0 0 0
−1 1 0
−1 0 1
Calcul de Mat
A p 2 . Il faut exprimer a 1 , a 2 , a 3 en fonction de a 1 , e 2 , e 3 . En partant des dénitions de a 1 , a 2 , a 3 , on obtient :
a 1 = a 1 a 2 = a 1 − e 2
a 3 = −a 1 + 2e 2 + 3e 3
⇒
p 2 (a 1 ) = 0
p 2 (a 2 ) = −e 2 = −a 1 + a 2
p 2 (a 3 ) = 2e 2 + 3e 3 = a 1 + a 3
Mat A p 2 =
0 −1 1 0 1 0 0 0 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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Rémy Nicolai M1014CMPSI B 20010-2011 Corrigé du DM 14 29 juin 2019
Calcul de Mat
EA p 2 . On exprime p 2 (e 2 ) = e 2 et p 2 (e3) = e 3 dans A . De plus, e 1 = a 1 − e 2 − e 3 ⇒ p 2 (e 1 ) = −e 2 − e 3 = − 2
3 a 1 + 1 3 a 2 − 1
3 a 3
d'où
Mat EA p 2 = 1 3
−2 3 −1 1 −3 2
−1 0 1
Calcul de Mat
AE p 2 . On exprime a 1 , a 2 , a 3 en fonction de a 1 , e 2 , e 3 . On obtient :
( a 2 = a 1 − e 2
a 3 = −a 1 + 2e 2 + 3e 3 ⇒ Mat
AE p 2 =
0 0 0 0 −1 2 0 0 3
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
