R appels et compl ements ´

M ath ematiques ´ - ECS1

1

R appels et compl ements ´

Lyc´eeLaBruy`ere 30avenue deParis 78000 Versailles

2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c

quelques compléments.

1.1 Sur les nombres.

1.1.1 Les réels

— Les (nombres )entiers naturelssont les nombres entiers positifs ou nuls tels que 0,1,2,3,4,5, . . . ,173 etc.

L’ensemble des entiers naturels se noteN.

— Un (nombre)entier relatifest un entier positif ou négatif.

L’ensemble des entiers relatifs se noteZ

Z={. . . ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, . . .}

— Par défaut, un entier désignera un entier relatif. La somme et le produit de deux entiers sont des entiers.

— Un entierpairest un entier divisible par 2, c’est à dire qu’il peut se mettre sous la forme 2koùkest un entier.

— Un entierimpairest un entier qui peut se mettre sous la forme 2k+1 oùkest un entier.

Proposition 1. Etant donnés un entier a et un entier positif non nul b, on peut faire la division euclidienne de a par b, c’est à dire qu’il existe des entiers q et r tels que a=bq+r où0≤r<b

— Les (nombres)rationnelssont les nombres fractionnaires (fractions) qui peuvent s’écrire sous la forme ^m_n oùmetnsont des entiers, l’entiernétant non nul.

Des nombres tels que ¹₃,²₅,−⁶

17,−¹⁷

213, . . .sont des nombres rationnels.

— Dans la fraction ^m_n, les entiersm etn s’appellent respectivement numérateur et dénominateur.

— Les entiers sont aussi des rationnels puisque tout entierms’écrit aussi^m₁. L’ensemble des nombresrationnelsse noteQ.

Opérations.

Proposition 2 (Addition et multiplication de deux fractions). Si ^a_b et ^m_n sont deux nombres rationnels,

a b +m

n = an+bm

bn , a

b×m

n =a×m b×n

Remarque1.Attention aux simplifications fausses : d’une part,

a

b + ^m _n , ^a _b ⁺ ₊ ^m _n

et d’autre part

a + h

b + h , ^a _b !

— Il existe enfin des nombres qui ne sont pas rationnels comme

√

2 ouπ. Ces nombres

sont ditsirrationnels.

— L’ensemble constitué des nombres rationnels et irrationnels s’appelle ensemble des nombresréels.

2

1.1 Sur les nombres. ³

Cet ensemble se noteR.

— On peut le représenter géométriquement par une droite munie d’une origineOet d’un pointI.

O I

Un réelxest alors représenté par le pointMtel que−−→

OM=x−→ OI.

Inverses et opposés.

Soitaun nombre réel.

— L’opposédeaest le réelxtel quea+x=0, il est noté−a.

— Si le nombrean’est pas nul, il existe un unique réelbvérifiantab=1.

Ce nombrebs’appelleinversedeaet se note ¹_aoua⁻¹.

— Siaest un rationnel non nul ^m_n alors¹_a = _mⁿ Remarque2.Attention : ¹₀ et0⁻¹n’ont aucun sens ! Positifs et négatifs.

Ne confondez pas positif avec strictement positif !

— Dire queaest positifsignifie queaest supérieur ou égal à 0et se notea≥0.

— Dire queaest strictement positifsignifie queaest positif non nulet se notea>0.

— Idem avec négatif et strictement négatif.

Remarque3.Une inégalité stricte est donc plus fine qu’une inégalité large, il ne faut pas les confondre.

1.1.2 Manipulation des inégalités Règles.

Règle 1. Sia≥betb≥calorsa≥c.

Sia>betb≥calorsa>c(même conclusion sia≥betb>c).

Règle 2. Sia>betc>0 alorsac>bc

Multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre stricte- ment positif préserve le sens de cette inégalité.

Exemple 1. Comparaison des puissances.

— Si 0≤x≤1 alors 0≤. . .≤x³≤x²≤x≤1

— Si 1≤xalors 1≤x≤x²≤x³≤. . .

La règle suivante est équivalente à la précédente :

Règle 3. Sia>betc<0 alorsac<bc

Multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre stricte- ment négatif renverse le sens de cette inégalité.

Règle 4. Sia>betc≥dalorsa+c>b+d

Additionner membre à membre deux inégalités de même sens fournit une inégalité qui est aussi fine que la plus fine des deux.

Règle 5. Sia>b>0 alors 0<¹_a < ¹_b

Remarque4.Ce qui n’est pas permis : soustraire ou diviser des inégalités membre à membre conduit à des absurdités en général !

Exemple 2. 2>1 et 3>1 mais il est faux d’écrire 2−3>1−1 de même qu’il est faux d’écrire ²₃ > ¹₁

Remarque 5.Ce qui est permis : multiplier membre à membre des inégalités est permis lorsque tous les termes sont positifs

Exemple 3. Etablir pour tout réelx>1, ^√_x^xln₂₋₁^x≤ ¹

2. Montrons d’abord : pour tout réelx>1, √

x≤ ¹⁺₂^x et lnx≤x−1.

La première inégalité s’obtient en remarquant : pour tout x > 1, (√

x−1)² ≥ 0 donc x−2√

x+1≥0 d’où on tire √ x≤ ¹⁺₂^x.

La seconde s’obtient par exemple en étudiant la fonctionx7→ x−1−lnxsur l’intervalle ]1,+∞[.

Dans ces deux inégalités, tous les termes sont positifs donc pour tout réelx>1, √ xlnx≤

x²−1 2 .

Ainsi, pour tout réelx>1, ^√_x^x₂₋₁^lnx ≤¹

2. Valeur absolue.

Définition 1. Soitxun nombre réel.

On appellevaleur absolue dex, le réel noté|x|, défini par :

|x|=

( x six≥0

−x six≤0

Proposition 3. La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes : (1) |x| ≥0

(2) |x|=0si et seulement si x=0

(3) Soit a∈R⁺:|x|=a si et seulement si x=a ou x=−a.

(4) |xy|=|x| × |y| et

x y

= ^|x|_|y|

(5) |x+y|≤|x|+|y|

Proposition 4. Soit x un nombre réel et a un réel positif.

Alors :|x| ≤a équivaut à−a≤x≤a

Exemple 4. Résoudre dansR: x²−1

≤3

x²−1

≤3⇐⇒ −3≤x²−1≤3

⇐⇒ −2≤x²≤4

⇐⇒ −2≤x≤2

1.1 Sur les nombres. ⁵ L’ensemble des solutions est donc l’intervalle [−2,2].

Proposition 5. Soit x un nombre réel et a un réel positif.

Alors :|x| ≥a équivaut à x≥a ou x≤ −a

Exemple 5. Résoudre dansR: 2x³−1

>3

2x³−1

>3⇐⇒2x³−1>3 ou 2x³−1<−3

⇐⇒2x³>4 ou 2x³<−2

⇐⇒x³>2 oux³<−1

⇐⇒x>√³

2 oux<−1

L’ensemble des solutions est donc la réunion : ]− ∞,−1[∪]√³ 2,+∞[.

1.1.3 Equations du second degré Identités remarquables¹.

Identités remarquables .Carré et cube d’une somme (ou différence) (a+b)²=a²+2ab+b²

(a−b)²=a²−2ab+b² (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³

Et avec plusieurs termes ?

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc, (a+b−c)²=a²+b²+c²+2ab−2ac−2bc Remarque6.Attention :(a+b)ⁿ,aⁿ+bⁿ

Identités remarquables .Différence de deux carrés ou de deux cubes a²−b²=(a−b)(a+b)

a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²) a²+b²n’est pas factorisable dansR!

Forme canonique d’un trinôme du second degré.

Soienta,b,ctrois réels, le réelaétant non nul.

Pour tout réelx,

1. A connaître sur le bout des doigts !

ax²+bx+c=a x²+b ax+c

a

!

=a x²+2 b 2ax+ b²

4a² +c a− b²

4a²

!

=a







 x+ b 2a

!2

+4ac−b² 4a²









=a x+ b 2a

!2

−b²−4ac 4a

Définition 2. L’expressiona

X+_2a^b2

−^b2−4ac_4a s’appelleforme canonique du trinôme aX²+bX+c.

Le nombre∆ =b²−4acs’appellediscriminantdu trinômeaX²+bX+c.

Résolution de l’équationax²+bx+c=0

Pour étudier l’équationax²+bx+c=0, oùa,0

— on commence par la recherche deracines évidentes, en trouver une suffit, l’autre s’en déduit facilement,

— si on ne trouve pas de racine évidente, on étudie lediscriminant∆ =b²−4ac. Il y a alors trois cas :

(1) si∆>0, l’équation possède deux racines réelles (distinctes), x1= −b−

√∆

2a etx2= −b+√

∆ 2a

(2) si∆<0, l’équation n’a pas de solution réelle mais possède deux solutions complexes conjuguées :

z1=−b−i

√

−∆

2a etz2 =−b+i

√

−∆ 2a

(3) si∆ =0, l’équation possède une racine (double), x= −b

2a

Facorisation d’un trinôme.

PourfactoriserdansRl’expressionaX²+bX+c, on cherche lesracinesde l’équation ax²+bx+c=0.

— si l’équation admet deux racines réelles distinctesx1etx2, alors aX²+bX+c=a(X−x₁)(X−x₂)

— si l’équation admet une racines réelledoublex0alors aX²+bX+c=a(X−x0)²

— si l’equation admet deux racines complexes conjuguées, l’expression ne se factorise pas dansR. (Mais elle se factorise quelque part ailleurs ...)

Signe d’un trinôme du segond degré.

L’étude de la factorisation de aX² +bX +c permet aussi de connaître lesigne de l’expressionaX²+bX+c:

— si l’équation admetdeux racines réelles distinctesx₁etx₂, alorsaX²+bX+cest dusigne deaà l’extérieur des racineset du signe de−aentre les racines,

— si l’équation admet une racines réelle doublex0ou si elle n’admet pas de racines réelles alorsaX²+bX+cgarde un signe constant, celui dea.

1.2 Sur les fonctions ⁷

Exercice 1. Pour quelles valeurs du paramètremla somme des carrés des racines de l’équationx²+(m−2)x−(m+3)=0 est elle la plus petite ?

1.2 Sur les fonctions

Unefonctionest définie partroisdonnées :

— unensemble de départ(ou de définition) :E

— unensemble d’arrivée(qui doit être une partie deR) :F

— unmode d’association: à tout élément au départ correspond un unique élément à l’arrivée)

Si f désigne une fonction et x un élément de l’ensemble de départ alors f(x) est l’image dexpar f. Sib= f(x), on dit aussi quexest un antécédent debpar f.

Notation1.La fonction f définie surEà valeurs dansF(ou deEversF) qui à un élément xdeEassocie le réel f(x)est notée : f : E −→ F

x 7−→ f(x)

1.2.1 Manipulation des exposants Fonction puissancen^e.

Définition 3. Etant donné un réelxet un entier naturel non nuln, le nombrexⁿdésigne le produit dexpar lui-mêmenfois.

Remarque7.Par convention,x⁰=1.

Propriétés algébriques .Quelques soient le réelxet les entiers positifsm,n,p,q x^m+n =x^mxⁿet (x^p)^q=x^pq

Proposition 6. La fonction x7→ xⁿ est continue, strictement croissante sur[0,+∞[et applique l’intervalle[0,+∞[sur[0,+∞[.

~i

~j

0 x

y

y=xⁿ

~i

~j

0 x

y

y=xⁿ

y=a

t

Etude de l’équationxⁿ =a.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires appli- qué à une fonction strictement montone, dès queaest un réel positif donné, l’équationxⁿ =apossède une unique solutiontdans l’intervalle [0,+∞[.

Racinen^e

Définition 4. Etant donné un réel positifaet un entier naturel non nuln, le nombrea¹ⁿ désigne l’unique solution positive de l’équationtⁿ=a.

On l’appelleracinen-ème du nombrea.

Proposition 7. Quelques soient les réels positifs x,y et l’entier positif n ≥ 1, on a l’égalité :

(xy)¹ⁿ =x¹ⁿy¹ⁿ

1.2 Sur les fonctions ⁹

Remarque8.Le casnimpair.

Etant donné un réela quelconqueet un entier naturelimpairn, l’équationtⁿ =apossède une unique solution notée encorea¹ⁿ, encore appelée racinen^edea.

Notation2.On note parfois aussi√ⁿ

ala racinen^ed’un nombrea.

Proposition 8. La fonction racine n-ème est la fonction qui à un réel x associe x¹ⁿ. Elle est définie sur

— surR⁺=[0,+∞[lorsque n est pair

— surRlorsque n est impair

Elle est strictement croissante et continue sur son domaine de définition.

~i

~j

0 x

y

y=x¹² y=x¹⁴

~i

~j

0 x

y

y=x¹³ y=x¹⁵

Exposants rationnels.

Définition 5. Etant donné un réel positifaet un rationnel positif ^m_n, le nombrea^mn est le nombre (a^m)¹ⁿ qui est aussi égal à (a¹ⁿ)^m.

Par exemple, 2⁵² = √ 2⁵=4

√

2 et 4³⁴ =(⁴

√ 4)³=(

√ 2)³ =2

√ 2

Remarque9.Lorsquenest un entier naturelimpair, le nombrea^mn est défini pour tout réel a.

Par exemple, (−2)⁵³ =p³

(−2)⁵=√³

−32=−2 ³

√ 4 Exposants négatifs.

Définition 6. Etant donné un réelxstrictement positifet un rationnel positif non nulr, le nombrex^−rest défini par :x^−r= _x¹r

Propriétés algébriques .Les propriétés algébriques des puissances s’étendent aux ex- posants rationnels : pour tout réelx>0 et tous rationnelsr,s

x^rx^s=x^r+s, (x^r)^s=x^rs, ^x_x^r_s =x^r−s

Exercice2. Simplifier ³ s

3 q

6

√ 4

!2

, ((⁴

√ 2)³)⁷⁶ et









√3

54

√4

162









6

1.2 Sur les fonctions ¹¹

Exercice3. Soienta>0 etb>0. Simplifier l’expression ³ s√

a³b⁹

√4

a⁶b⁶ .

Exercice4. Développer l’expression (√³ x−p³

2y)³oùxetysont des réels quelconques.

Exercice5. Factoriser l’expressionx+4

√

3x+12 oùxest un réel positif.

Fonction racine carrée

Proposition 9. La fonction racine carrée f : x 7→ √

x est définie et continue surR⁺. Elle est strictement croissante surR⁺.

~i

~j

0 x

y

y= √ x

Proposition 10. La fonction racine carrée f :x7→ √

x est dérivable surR^+∗=]0,+∞[, sa dérivée est donnée par

f⁰(x)= 1 2√

x.

Sa courbe représentative dans un repère orthonormale possède, à l’origine, une tan- gente verticale.

Remarque10.Attention :(√

x)²=xmais

√ x²=|x|

1.2.2 Exponentielle et logarithme Fonction exponentielle.

Théorème et définition 1. La fonctionexponentielleest l’unique fonction f dérivable surRsatisfaisant

f(0)=1 et pour tout x∈R, f⁰(x)= f(x).

Cette fonction est notéeexpet l’image d’un réel x est notée^x.

Propriétés algébriques .L’exponentielle satisfait aux propriétés suivantes : (1) exp(0)=e⁰ =1, exp(1)=e avec (e∼2.718281828...)

(2) pour toutx∈R,y∈R, e^x+y=e^xe^yet e^−x= 1 e^x (3) pour toutp∈Z, x∈R, e^px=(e^x)^p

Proposition 11. La fonction exponentielle est strictement positive surR, et strictement croissante surR.Ses limites en+∞et−∞sont :

x→−∞lim e^x=0et lim

x→+∞e^x= +∞.

x

exp⁰

exp

−∞ 0 +∞

+ 1 +

0 0

+∞ +∞

Sa courbe représentative dans un repère orthonormale est la suivante :

~i

~j

0 x

y y=e^x

Limites classiques .On dispose des limites suivantes (1) lim

x→+∞

e^x

x = +∞et lim

x→−∞xe^x=0 (2) lim

x→0

e^x−1 x =1

(3) pour toutm∈N, lim

x→+∞

e^x

x^m = +∞et lim

x→−∞x^me^x=0

1.2 Sur les fonctions ¹³

(4) lim

n→+∞

1+x

n n

=e^x

Fonction logarithme.

Définition 7. La fonctionlogarithmeest la fonction réciproque de la fonction exponen- tielle. Elle est définie sur ]0,+∞[ à valeurs dansR.

Cette fonction est notéelnet l’image d’un réelxest notélnx.

On dispose de l’équivalence : (y =lnx

x >0 si et seulement si

(x= e^y y ∈ R

Proposition 12. La fonctionlnest dérivable sur]0,+∞[et pour tout x>0 ln⁰x=1

x On a donc : pour tout x>0,

lnx=Z x 1

1 tdt.

Proposition 13. La fonctionlnest strictement croissante sur]0,+∞[et a pour limites en0et+∞:

limx→0lnx=−∞et lim

x→+∞lnx= +∞

x

1 x

ln

0 +∞

+

−∞

+∞ +∞ 1

0

e

1

La courbe représentative de la fonction ln est la suivante :

~i

~j

0 x

y y=lnx

Les fonctions exponentielles et logarithme sontréciproquesl’une de l’autre. Dans un repère orthonormale, leurs courbes représentatives sontsymétriques par rapport à la droite² d’équationy=x.

~i

~j

0 x

y

y=lnx y=e^x

y=x

Propriétés algébriques .La fonction ln vérifie les propriétés suivantes : (1) ln 1=0 et ln e=1

(2) pour toutx∈R, ln(e^x)=x (3) pour toutx>0, e^lnx=x (4) pour toutx>0,y>0,

ln(xy)=lnx+lny, ln x y

!

=lnx−lny (5) pour toutx>0, ln¹_x=−lnx

2. Cette droite est aussi appelée première bissectrice du repère

1.2 Sur les fonctions ¹⁵

(6) pour toutm∈N, x>0, ln(x^m)=mlnx

Limites classiques .On dispose des limites suivantes (1) lim

x→+∞

lnx

x =0 et lim

x→+∞xlnx=0 (2) pour toutm∈N^∗, lim

x→+∞

lnx

x^m =0 et lim

x→0x^mlnx=0 (3) lim

x→1

lnx

x−1 =1, c’est aussi : lim

x→0

ln(1+x)

x =1

Fonction puissance-α

On sait donner un sens à des expressions telles que x²,x⁻³, . . . ,x^pq pour des entiers p,q,0. Mais quel sens donner à une expression telle quex

√ 2?

Définition 8. Lorsqueα∈R, le nombrex^αest défini pourx>0par la formule : x^α=e^αlnx.

Proposition 14. Pour toutα∈R,et tout x∈R, (e^x)^α=e^αx

Voici les courbes représentatives des fonctions x 7→ x

√

2, x 7→ x⁻

√

2 et x 7→ x^√12 donnant l’allure générale des courbes représentatives des fonctions x 7→ x^α suivant que α >1 ouα <0 ou 0< α <1 :

~i

~j

0 x

y

y=x

√ 2

~i

~j

0 x

y

y=x⁻

√ 2

~i

~j

0 x

y

y=x^√12

Exercice6. Ecrire sous forme exponentielle les nombres et expressions suivants : (

√ 3)

√2, q

2⁻¹³, 2^−e

4^−√e, (1+x)^x2, 1+1 n

!

√n

.

1.2.3 Composition

Considérons la fonction définie surRparh(x)= √ 3x²+1.

Cette fonction est formée à partir des fonctionsy7→ √

yetx7→3x²+1.

Etant donné un réelx,

— on forme d’abordy=3x²+1, puis

— on forme ensuite √ y= √

3x²+1.

Cette dernière opération est possible puisque 3x²+1 est positif.

Soit f la fonction définie surRpar f(x)=3x²+1 et la fonctiongdéfinie surR⁺par g(y)= √

y.

Comme 3x²+1≥0, on peut formerg(3x²+1) c’est à dire g(3x²+1)= √

3x²+1=h(x) ce qui s’écrit aussi

g(f(x))=h(x)

Définition 9. Composée de f suivie deg

Chaque fois que l’on dispose de deux fonctions f etgde telle sorte quegest définie pour les valeurs de f, on peut former une nouvelle fonction notéeg◦ f définie par la relation

g◦ f(x)=g(f(x)). La fonctiong◦ f s’appellecomposée def suivie deg.

Remarque11.En appelantDf le domaine de définition def etDgcelui deg: g◦ f(x)est défini si et seulement six∈Df et f(x)∈Dg.

Exercice7. Pour tout réelx, on pose f(x)=x²etg(x)=2x−1.

Calculerg◦ f(x) et f◦g(x).

Exercice8. Pour tout réelx, on pose f(x)=x²etg(x)=sin(x).

Calculerg◦ f(x) et f◦g(x).

Exercice9. La fonction f est définie surRpar f(x)=1−x²et la fonctiongest définie sur ]− ∞,1] parg(x)= √

−x+1.

Calculerg◦ f(x).

Pour quelles valeurs dexpeut on définir f ◦g(x) ?

1.3 Raisonner juste

1.3.1 Erreurs de raisonnement

On fera attention, dans les raisonnements, à ne pas commettre les erreurs suivantes : (1) commencer une preuve en supposant la conclusion

(2) confondre condition nécessaire et condition suffisante

1.3 Raisonner juste ¹⁷

(3) donner un (ou des) exemple(s) particulier(s) ne prouve rien (4) faire usage de l’équivalence quand elle n’est pas vraie 1.3.2 Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est utile lorsque la propriété à établir est valable pour tout entier naturel et qu’il existe une relation de récurrence entre le rang n et les rangs précédents.

Pour mettre en oeuvre un raisonnement par récurrence, les quatre étapes suivantes doivent apparaître clairement :

(1) énoncer convenablement la propriété, (2) initialiser la récurrence,

(3) établir l’hérédité,

(4) conclure en citant leprincipe de récurrence surN, Remarque12.Attention à la marche.

Le rang de l’hypothèse de récurrence doit inclure le dernier rang d’initialisation !

Exercice10. On poseu0=0,u1=2 et pour toutn∈N, un+2=3un+1−2un. Montrer que pour toutn∈N,un=2ⁿ⁺¹−2

Exercice11.Autres exemples.Par récurrence,

— montrer que : 1+2+3+. . .+n=n(n+1)

2 ,

— montrer que : 1+3+5+. . .+(2n+1)=n².

Proposition 15. Formule géométrique.

Soit q un nombre réeldifférent de1. Alors

1+q+q²+. . .+qⁿ⁻¹= 1−qⁿ

1−q.

Conséquence .Pour tous réelsaetb,

aⁿ−bⁿ=(a−b)(aⁿ⁻¹b⁰+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+. . .+abⁿ⁻²+a⁰bⁿ⁻¹)

Remarque13.Les deux formules géométriques ci-dessus sont vraies aussi pour des nombres complexes.

Application à la dérivabilité dex7→x¹ⁿ. Soitx0un réel strictement positif etn∈N^∗. Pour tout réelx>0 tel quex,x0,

x−x0=(x¹ⁿ −x

1 n

0)(xⁿ⁻¹ⁿ +xⁿ⁻²ⁿ x

1 n

0 +. . .+x¹ⁿx

n−2 n

0 +x

n−1 n

0 ) donc

x¹ⁿ −x0

1 n

x−x0

= 1

xⁿ⁻¹ⁿ +xⁿ⁻²ⁿ x

1 n

0 +. . .+x¹ⁿx

n−2 n

0 +x

n−1 n

0

d’où, par continuité des fonctionsx7→x^mn lorsquem∈~1,n−1,

x→xlim0

x¹ⁿ−x

1 n

0

x−x0 = 1 nx

n−1 n

0

= ¹_nx

1 n−1 0

Etudions maintenant la dérivabilité à droite en 0.

Comme lim

x→0

x¹ⁿ−0 x−0 =lim

x→0

1

x¹⁻¹ⁿ = +∞lorsquen ≥2, la fonction racinen^en’est pas dérivable en 0, lorsquen≥2.

Proposition 16. Soit n∈Ntel que n≥2.

La fonction f :x7→x¹ⁿ est dérivable sur]0,+∞[et sa dérivée est définie par f⁰(x)= ¹_nx¹ⁿ⁻¹.

1.3.3 Le raisonnement par l’absurde

Il consiste à supposer que le contraire de la proriété à démontrer est vrai et à établir une contradiction ou une impossibilité.

Exercice12. Par l’absurde, montrer queln 2

ln 3est irrationnel.

1.3.4 Le raisonnement par contraposée

Pour montrer qu’une propriétéPimplique une propriétéQ, on peut établir que siQn’est pas vraie alorsPne l’est pas non plus.

Exercice13. Soitx∈Z.

Montrer que six²est un entier impair alorsxest un entier impair.

1.4 Exercices ¹⁹

1.4 Exercices

Exercice14. Etablir les égalités (a)















2+√ 3

√ 2+q

2+ √ 3

+ 2−

√ 3

√ 2−

q 2−

√ 3















2

=2

(b)







 3+2⁴

√ 5 3−2√⁴

5









1 4

=

√4

5+1

√4

5−1

Exercice15. Calcul avec des fonctions.

(1) On pose pour tout réelx, f(x)=x+√

|x|. Donnez f(−4) et f(¹₄).

(2) On pose pour tout réelx, f(x)=x²+2x−5. Donnez f(−3) et exprimez f(x+¹₂).

Exercice16. On considère la représentation graphique (C) d’une fonctionf définie sur R. ainsi que la tangente (T) à cette courbe au pointAde coordonnées (0 ; 1).

Etudier si les propositions suivantes sont correctes ou non : a. f⁰(0)=1.

b. f⁰(1)=1,5.

c. L’équation f(x)=xpossède une unique solution sur l’intervalle [−1,5 ; 4].

c. 2≤ Z 2

−1

f(x) dx≤4.

~i

~j O

•

x y

y= f(x) (T)

A•

Exercice17. Composition de fonctions

(1) On pose pour tout réelx, f(x)=x²+2x, g(x)=x+1. Exprimer f◦g(x) etg◦f(x) en fonction dex. Faire de même avecf ◦ f(x).

(2) On pose pour tout réelx, f(x)=x²+2x, g(x)= _x+^x₁. Exprimer f◦g(x) etg◦ f(x) en fonction dex.

(3) On pose pour tout réel x>0, f(x)=(lnx)²−lnx, g(x)=e^−x. Exprimer f ◦g(x) en fonction dex.

Exercice18 (Bac S). On considère la suite (u_n) définie surNparu0 = 1 et, pour tout n∈N,un+1=1

2(un−n)−1. On donne l’algorithme suivant : Entrée nest un entier naturel.

Initialisation uprend la valeur 1 ;iprend la valeur 0.

Traitement Tant quei<n

uprend la valeur 1

2(u−i)−1 iprend la valeuri+1 Fin Tant que

Sortie Afficheru.

Etudier si les propositions suivantes sont correctes ou non : a. Pourn=3, l’algorithme nous donne le tableau suivant :

n u i

3 1 0

3 −1/2 1

3 −7/4 2

3 −23/4 3

b. Pourn=3, l’algorithme calculeu3.

On considère la suite (vn) définie surNparvn =un+n.

c. La suite (vn) est une suite géométrique de raison 1

2 et de premier termev0=1.

d. Pour toutn∈N,un= 1 2ⁿ +n.

Exercice19. Résoudre dansR:|x|+|2−x| ≤x+1.

Exercice20. Résoudre dansR:|3x−5|>|2x+3|.

Exercice21. Exprimezyen fonction dexsachant que ln(e^y−e^x)=y+ln 2−ln(e^y+e^x)

Exercice22. Soientxetydeux réels strictement positifs. Montrer que x y+y

x ≥2.

1.4 Exercices ²¹

Exercice23. Résoudre l’inéquation :1−

√ 1−8x²

2x ≤1.

Exercice24. Soitk∈R^+∗et (a,b)∈R²tel quea<b. Montrer quea<a+kb 1+k <b.

Exercice 25. Donner l’ensemble de définition des fonctions définies par les formules suivantes :

f(x)= 1

1−e^sin(x), f(x)=xln|x|, f(x)=ln x−2 x+3

!

Pour chacune de ces fonctions, préciser l’ensemble sur lequel elle est continue, l’en- semble sur lequel elle est dérivable, puis donner l’expression de la dérivée.

Exercice26. Déterminer les limites suivantes :

x→lim+∞

x²+3 4+5x²+x√

x, lim

x→+∞x⁵e^−x, lim

x→0,x>0

√

xlnx, lim

x→+∞xln 1+1 x

!

Exercice27. Soit un réelx>0. Montrer que Z ^√x

1

1 tdt=1

2 Z x

1

1 tdt

Exercice28. Soitf une fonction définie surRet vérifiant pour tout réelx, x≤ f(x)≤x+x²

Montrer que f est dérivable en 0 et calculerf⁰(0).

Exercice29. Soitf une fonction dérivable surReta,bdeux réels. On supposef(a)=0 et f⁰(a)=b. Déterminer la limite lim

h→0

f(a+h)−f(a−h)

2h .

Exercice 30. SoitC la courbe représentative de la fonction f définie sur ]0,+∞] par f(x)=xlnxdans un repère orthonormée etαun réel. Montrer qu’il existe une tangente àC dont la pente estα. On donnera les coordonnées du point de tangence.

Exercice31. Montrer que pour toutn∈N^∗et tout réelx∈]0, π[,

sinnx sinx

≤n

Exercice32. Soitx∈R^∗. Les énoncés suivants sont ils vrais ou faux. Justifiez.

(1) Six⁷etx¹²sont rationnels alorsxest rationnel.

(2) Six⁹etx¹²sont rationnels alorsxest rationnel.

1.5 Exercices avancés

Exercice33. Discuter suivant les valeurs du paramètrem, la réalité et le signe des racines de l’équation

−mx²+(2m−1)x+2=0.

Exercice34. Soienta,b,c,dquatre réels tels queb <c<d (oud <c< b). Montrer l’inégalité (a+b+c+d)² >8(ac+bd)

Exercice35. Etudier, suivant les valeurs du paramètrem, les solutions dansRà l’équa- tion

x²−1

+

x²−4

=mx.

Exercice36. Soitnun nombre entier naturel impair eta₁,a₂,· · ·,a_nla suite des entiers 1,2,· · ·,nréarrangée. Montrer que le produit (a1−1)(a2−2)· · ·(a_n−n) est un entier pair.

Exercice37.Rallye mathématique d’Alsace.Jean attribue à chaque nombre entier stric- tement positif une couleur, soit bleue, soit rouge. Pour cela, il suit la règle suivante : si trois nombres (distincts ou non) ont la même couleur, leur somme a également cette couleur. On sait que la couleur rouge a été attribuée au nombre 58 et que la couleur bleue a été attribué de nombreuses fois. Quelle couleur a été attribuée au nombre 40 ? Et au nombre 2013 ?

1.6 Indications pour les exercices ²³

1.6 Indications pour les exercices

Indication pour l’exercice1. Exprimer la somme des carrés des racines en fonction de leur somme et de leur produit.

Indication pour l’exercice19. Raisonner par cas pour faire disparaître les valeurs abso- lues : il y a deux valeurs remarquables 0 et 2.

Indication pour l’exercice20. Même conseil qu’à l’exercice précédent.

Indication pour l’exercice27. Une primitive det7→ 1

t est la fonction ln ! Indication pour l’exercice28. Etudier la limite du rapport f(x)−f(0)

x lorsquextend vers 0.

Indication pour l’exercice29. Remarquer l’égalité : f(a+h)−f(a−h)

2h =1

2

f(a+h)−f(a)

h − f(a−h)−f(a) h

! .

Indication pour l’exercice30. Etudier l’équation f⁰(x)=αen fonction du réelα.

Indication pour l’exercice31. Raisonner par récurrence.

Indication pour l’exercice34. Introduire le trinômeP(t)=(t+b+c+d)²−8(tc+bd) et étudier son signe.

Indication pour l’exercice35. Faire une étude par cas pour ne plus être gêné par les va- leurs absolues.

Indication pour l’exercice36. Calculer la somme

n

X

i=1

(ai−i)