Ordre et Valeur Absolue.

Ordre et Valeur Absolue.

« Chuck Norris a déjà compté jusqu’à l’infini… Deux fois » Chuck Norris Facts.

I Ordre et intervalles.

II Transformation d’une inégalité.

III Signe d’une expression.

IV Super-transformation d’une inégalité.

V Valeur absolue.

I Ordre et intervalles.

Le signe = a été crée par Robert Recorde en 1557 et remplaça le aequalis latin. Il dira « Si j’ai choisi une paire de parallèles, c’est parce qu’elles sont deux lignes jumelles, et que rien n’est plus pareil que deux jumeaux. » Le + et le – viennent d’un dénommé Widmann qui en 1498 les utilisa pour marquer des caisses de marchandises. Les caisses pesait 4 centner et si elles faisaient 5 livres de moins, on notait 4c-5l ou si c’était en plus : 4c+5l. Le × vient de l’ anglais William Oughtred en 1631.

Quant aux > et < ils ont été inventé quelques temps plus tôt par un autre anglais, Thomas Harriot. La racine carrée est due à l’allemand Rudolff en 1525. L’infini ∞ vient de l’anglais John Wallis.

Ex 1 : Placer un signe de relation d’ordre entre les trois couples de nombres qui suivent sans faire de calcul :

58 14 57,2

7×2 ; 26 152 26

151 ; 20

21 102,1 102 .

Cependant, les astuces que vous venez d’utiliser dans cet exercice ne sont pas idoines dans la plupart des cas.

La phrase du chapitre :

Comparer deux nombres a et b c’est dire lequel des deux est le plus grand. E.g.

dire que b>a, c’est la même chose que de dire que b-a>0.

Remarque : La plupart des élèves trouvent débile de penser que 7 est plus grand que 5 parce que 7-5=2 est positif mais c’est pourtant le réflexe à prendre car il est faudra l’avoir quand il ne s’agira plus de nombre, mais d’expressions algébriques comme 2x et x²+1.

Ex 2 : (Défi) Lequel de ces deux nombres est le plus grand ? 1,000 000 4

(1,000 000 6)² et (0,999 999 5)² 0,999 999 8 Ex 3 : Remplir les colonnes manquantes du tableau :

-2 x < 1

x ∈ ]- ∞ ;-4[

x 5

Attention, l’infini (positif ou négatif) n’est pas un nombre mais une vue de l’esprit. Il s’agit d’une notion insaisissable pour un ordinateur par exemple.

Définition : Soit [a ;b] (ou [a ;b[, ou ]a ;b], ou ]a ;b[) un intervalle, on dit que a et b sont les extrémités (ends) de l’intervalle. Le centre (middle) de l’intervalle est le nombre a+b

2 . La longueur (length) est le nombre b-a.

On rappelle la règle des signes : Le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est positif. Le produit (ou le quotient) de deux nombres de signes différents est négatif.

(Hervé Bazin : « Les amis de mes amis sont mes amis… ») « two minuses make a plus »

II Transformation d’une inégalité.

Propriété (2.A) : (Ordre et addition)

Si a < b alors a+c < b+c et a-c < b-c.

Si a < b et c < d alors a+c < b+d.

En français : « On peut ajouter un même nombre à chaque membre d’une inégalité sans changer l’inégalité.»

« On peut ajouter membre à membre des inégalités pour obtenir une inégalité de même sens. »

Propriété (2.B) : (Ordre et multiplication) Si a < b et c > 0 alors ac < bc et a

c < b c. Si a < b et c < 0 alors ac > bc et a

c > b c.

En français : « On peut multiplier ou diviser un même nombre strictement positif à chaque membre d’une inégalité sans changer le sens de l’inégalité ».

« On peut multiplier ou diviser un même nombre strictement négatif à chaque membre d’une inégalité en changeant le sens de l’inégalité ».

Théorème (2.C) : Si 0 a < b et 0 c < d alors ac < bd.

Attention ! –2 < -1 ; -3 < 4 et pourtant, 3 > -4.

Démonstration : Si 0 a < b et 0 < c alors d’après 2.B, on a ac < bc. De même, c<d et b>0, donc bc < bd. On en conclut que ac < bc < bd. Il reste le cas ou c=0 : ici, b>0 et d>0, donc bd>0=ac.

Ex 4 : On suppose –2 x 3 et 1 y < 2, trouver un encadrement du produit xy.

Ex 5 : Le périmètre d’un rectangle est compris entre 84 et 90, sa largeur entre 5 et 6. Donner un encadrement de sa longueur, de son aire puis de sa diagonale.

III Signe d’une expression.

Résoudre une inéquation, c’est la transformer de façon à trouver l’ensemble des solutions.

Exemple : 2x+1 3 ⇔ 2x 3-1 ⇔ x 2

2 ⇔ x 1.

Ex 6 : Résoudre –3x+4<1. Dessinez l’intervalle correspondant

Discuter du signe de 2x+1 en fonction des valeurs de x.

.

Déterminer quand 2x+1 est positif revient à trouver les solutions de l’inéquation 2x+1 0.

2x+1 0 ⇔ 2x -1 ⇔ x -1 2 .

De même, 2x+1 0 ⇔ 2x -1 ⇔ x -1

2 . On peut résumer ceci par une interprétation géométrique.

De plus, on peut faire un tableau de signe : x - ∞ -1 2

+ ∞

2x+1

-

+

Théorème (2.D) : Soient a et b deux réels avec a non-nul.. Le signe de l’expression ax+b suivant les valeurs de x est donné par les tableaux suivants :

Si a > 0 Si a < 0

x - ∞ - b

a

+ ∞ x - ∞ - b

a

+ ∞

ax+b

-

+

+

-

Démonstration : On sait déjà que ax+b=0 ⇔ x= - b a . Si a > 0 alors ax+b > 0 ⇔ ax > - b ⇔ ^{x > - b}

a et ax+b < 0 ⇔ ax < - b ⇔ ^{x < - b}

a

Si a < 0 alors ax+b > 0 ⇔ ax > - b ⇔ ^{x < - b} a et ax+b < 0 ⇔ ax < - b ⇔ ^{x > - b}

a

Ex 7 : Ecrire le tableau de signe de x-5, de 7-2x et de (x-5)(7-2x).

Ex 8 : Ecrire le tableau de signe de y = 3,14²

π x- 117.

IV Super-transformation d’une inégalité.

Théorème (2.E) : Soient a et b deux réels positifs, on a l’équivalence suivante :

a < b ⇔ ^{a2 < b2.}

Attention ! –2 < -1 et pourtant 4 > 1.

Démonstration : La somme a+b est positive. Donc a²-b² est de même signe que a-b car a²-b²= (a-b)(a+b).

Si a<b alors a-b<0 et d’après ce qui précède, a²-b²<0. D’où a²<b². Si a²<b² alors a²-b²<0 et de même a-b<0, d’où a<b.

Ex 9 : Petit problème : Trouver l’erreur : « On a pour tout x, l’inéquation x-1<x. D’où (x- 1)²<x², ou encore, en développant : x²-2x+1<x². On en déduit –2x+1<0, soit 1<2x et donc finalement

x>1

2. » Ainsi, Tout nombre est plus grand que ½.

Ex 10 : Comparer 5 2 et 7 puis comparer 2 2-3 et 17-12 2.

Ex 11 : Comparer 1 1

n− n− et 1 (n est un entier naturel)

Corollaire (2.F) : Soient a et b réels positifs a < b ⇔ a < b.

Démonstration : D’après le théorème 2.E on a : a < b ⇔

( )

( )

Il faut faire attention aux unités en physique !

En effet, on sait que ¼ d’euros vaut 25 cents. Or la racine carrée de ¼ est ½. Et ceci est bien différent de la racine de 25 cents qui vaut 5 cents…. Ou alors, je veux bien être votre banquier….

Théorème (2.G) : Soient a et b deux réels strictement positifs, on a l’équivalence suivante :

a < b ⇔ ¹ a > 1

b .

Démonstration : On applique la propriété 2.B en multipliant par 1/ab Ex 12 : Sachant que 2 x < 4, donner un encadrement de x+1

x . Comparer a, a² et a³ quand a vaut 1

2 ; 0,001 ; 2 ; 3.

Théorème (2.H) : Si a > 1 alors a³ > a² > a.

Si 0 < a < 1 alors a³ < a² < a.

Démonstration : Voir leçon sur les fonctions.

V Valeur absolue.

J’habite au kilomètre 0 de ma rue. Aldébaran habite à 7km à l’ouest de chez moi, Bucéphale à 3km à l’ouest, Caroline à 3km à l’est et Donald à 8km à l’est. Calculer la distance entre ma maison et celle d’Aldébaran, puis entre Aldébaran et Caroline, puis entre Caroline et Donald puis entre Donald et Bucéphale et enfin entre Bucéphale et moi.

Moi Aldébaran : 7km =7-0 Aldébaran Caroline : 10km=3+7 Caroline Donald : 5km=8-3 Donald Bucéphale : 11km=3+8 Bucéphale Moi : 3km= 0+3.

On remarque que si x>y, la distance d(x;y)=x-y. En revanche, si x<y, alors d(x;y)=y-x.

Définition : La valeur absolue d’un nombre x, notée |x| est le plus grand des deux réels x et –x. On peut donc écrire:

|x| =



x si x 0.

-x si x 0.

Remarque : Une valeur absolue est toujours positive ! ! ! ! Exemple : | - 4 | = -(-4) = 4 et | 6 | = 6. De plus, |0|=0. 2− 2 = ?

La valeur absolue n’est donc pas une machine à rendre les signes positifs !!....

Il est très important de bien maîtriser cette formulation. En effet, elle permet de sortir les

« barres verticales » en discutant du signe de l’expression qui se trouve à l’intérieur de la valeur absolue.

Exemple : | a-3 | =



a-3 si a 3

-(a-3)=3-a si a 3.

Ex 13 : Trouver x tel que | x-2 | = 1. Idem avec | x+4 | = -2.

Propriété (2.I) : — | x|=0 ⇔ x=0.

— | -x |=| x |.

— | x |=| y | ⇔ x = y ou x = -y.

— x² =| x |.

— |xy|=|x | × | y |. Idem pour le quotient….

Pour démontrer la dernière, on peut utiliser l’avant dernière avec la propriété de la racine carrée.

Ex 14 : Simplifiez ( 2- 3)².

Ex 15 : Calculez 3+2 2- 3-2 2 .

Propriété (2.J) : | x-y |=| y-x|.

Démonstration : On pose z=x-y. Alors | x-y |=| z |=| -z |=| y-x |, d’après la propriété 2.I.

Retour au problème du début. Ecrivons cela en termes mathématiques.

Moi Aldébaran : 8km =|8-0| Aldébaran Cunégonde : 10km=|-7-3|

Cunégonde Donald : 5km=|3-8| Donald Moi : 8km=|8-0|.

Définition : La distance entre deux réels x et y est d(x ; y)=|x-y|.

Ainsi, |x| est la distance de x à 0.

Théorème (2.K) : (Inégalité triangulaire)

| x+y | | x | + | y | ou encore en terme de distances : d(a,c) d(a,b)+d(b,c).

Third side rule : The sum of every two sides of a triangle must be greater than the third side.

Idée de la démonstration : Si l’on fait un dessin, il est très visuel que d(a,c) d(a,b)+d(b,c), ce qui se traduit en valeur absolue par : |c-a| |b-a|+|c-b| et en posant x=b-a et y=c-b on a x+y=c-a, d’où le résultat.

Théorème (2.L) : Soit a un réel et r un réel positif fixés, on a

| x-a | r ⇔ x∈ [a-r ;a+r].

Définition : Si |x-a| r, on dit que x est une valeur approchée de a à r près.

Exemple : Vérifier que 22/7 est une valeur approchée de π à 0,002 près.

Interprétation géométrique: Ecrire |x-a| r, c’est dire que la distance de x à a est plus petite que r.

Ainsi, |x-a| r est équivalent à a-r x a+r. Autrement dit, xχ [a-r ;a+r].

Démonstration : Si x-a 0 ⇔ x a, on a |x-a| r ⇔ x-a r ⇔ x a + r.

Si x-a 0 ⇔ x a, on a |x-a| r ⇔ -(x-a) r ⇔ -x+a r ⇔ -x -a+ r ⇔ x a- r.

Ex 16 : Résoudre dans ℝ l’inéquation |x-4| 3, puis en déduire |x-4| > 3.

Ex 17 : Résoudre |x+2|<4 ; |2x+4| 8 puis |x+10|=2 et enfin 3>|1-x| 1

Ex 18 : Trouver une équation dont les solutions sont S=]-3 ;1[

Remarque : Il est à noter que cette technique graphique ne fonctionne qu’avec une valeur absolue d’une forme ax+b. Dans les cas de valeurs absolues multiples, il convient de faire un tableau de signe et de simplifier l’expression en sortant les barres (comme dans l’exercice suivant).

Ex 19 : Résoudre |x-3|+|1-2x|=4.

Ex 20 : Et pour finir, voici les « 13 inexpugnables » : (à faire avec attention – il y a tous les pièges réunis)

1. 4x²-4x+1=0 2. (2x-1)²= -3

3. (2x+1)(2-x)=4x²-1 4. 2-3x<0

5. (2x+1)(1-3x) 0

6. 3x²+2 3x+1<0 7. 5x+1>x²+3x+2 8. |x²-25|=0 9. |x-7|=3 10. |x-9|=|8-x|

11. |2-6x|>5 12. |1-x|<-1 13. |6x-3|

|2-x|>2

Ex 21 : A la demande générale, pour les accros, en voici d’autres:

a) x− − − =1 3 x 2 b) 7 8

5 6 0 x x− ≤

− ;

c) 16x²− =4 4x²−4x+ +1 (6x−3)(x+1) d) 1− = −x x 1 ^;

e) 6 3− x =3 ^; f) 3 2− =x 0 g) 1 2

1 0 x x

− ≤ + ¨ h) |x− ≤1| 1

i) (x+1)²−2x≤x²+1 j) |1 2 | 1− x =

k) | 4 5 |

| 5 6 | 1 x x− =

−

Ex 1 : Pour le premier, on remarque que 58>57,2, pour le deuxième, il suffit de voir que 152>151 et donc 26

152 < 26

151 (c’est la philosophie de l’égoïste : plus on est nombreux à se partager un gâteau, moins il y en a pour chacun) et pour le dernier, on compare à 1, l’un étant plus grand, l’autre plus petit.

Ex 2 : (Défi) Il faut utiliser les identités remarquables et étudier le signe de la différence des deux quantités :

2 7 7 2

2 7 2 7

7 7 7 2 7 2

7 2 7

1, 000 000 4 (0, 999 999 5) 1 4.10 (1 5.10 ) (1, 000 000 6) 0, 999 999 8 (1 6.10 ) 1 2.10

(1 4.10 ) (1 2.10 ) (1 5.10 ) (1 6.10 ) (1 6.10 ) (1 2.10 )

− −

− −

− − − −

− −

+ −

− = −

+ −

+ × − − − +

= + × −

Seul le numérateur est intéressant au niveau du signe :

7 7 7 2 7 2 7 14 7 14 2

(1 4.10 ) (1 2.10 ) (1 5.10 ) (1 6.10 )+ ⁻ × − ⁻ − − ⁻ + ⁻ = +1 2.10⁻ −8.10   − +1 10⁻ −30.10⁻  Il reste à développer le dernier carré :

7 14 2 7 14 21 28

1 10⁻ 30.10⁻ 1 2.10⁻ 59.10⁻ 60.10⁻ 900.10⁻

 + −  = + − − +

  .

En fait, la fin du développement ne servait à rien car on a déjà 59>8 et donc la différence des opposés est positive. Ainsi

2 2

1, 000 000 4 (0, 999 999 5) (1, 000 000 6) > 0, 999 999 8 Ex 3 :

x ∈ [-2 ;1[ -2 x < 1 x ∈ ]2 ;4[ 2 < x < 4 x ∈ ]- ∞ ;-4[ x < -4 x ∈ [5 ;+ ∞ [ x 5

Ex 4 : On ne peut pas faire le produit directement car il y a une partie négative. On fait coupe donc l’étude en deux :

OU –2 x 0 et 1 y < 2

Il faut rendre tout positif (en multipliant la première par -1)

0 -x 2 et 1 y < 2 D’où le produit :

0 -xy 4

Et on revient au produit xy cherché en remultipliant par -1 :

-4 xy 0

0 x 3 et 1 y < 2

Ici, aucun problème, on peut faire le produit : 1 xy 6

D’où en faisant l’union des deux cas (il s’agit d’un OU), on obtient : -4 xy 6.

Ex 5 : En notant a et b la largeur et la longueur respectivement, on traduit les hypothèses : 5≤ ≤a 6 et 84≤2(a b+ ≤) 90.

On trouve alors 10≤2a≤12 et par soustraction 74≤2b≤78, donc 37≤ ≤b 39. D’où un encadrement de l’aire : 185≤ab≤234. Et pour la diagonale : 1394≤ a²+b² ≤ 1557^, soit en faisant propre : 1394≤ a²+b² ≤3 173

Le périmètre d’un rectangle est compris entre 84 et 90, sa largeur entre 5 et 6. Donner un encadrement de sa longueur, de son aire puis de sa diagonale.

Ex 6 : On trouve x>1. ce qui donne l’intervalle

Ex 7 : On peut faire les trois dans le même tableau en faisant attention de bien mettre les barres des valeurs charnières sur toute la longueur du tableau :

0 0

x

−∞ ⁷ ₂

+∞

0

0 +

+ +

+

+ -

-

- -

x-5 7-2x

(x-5)(7-2x)

Ex 8 : Le piège est de simplifier le 3,14 avec π, ce qui n’est pas possible ! En fait, aucune difficulté, il suffit de considérer 3,14²

π et 117 comme des nombres (pas vraiment différent de 5 et 7). On trouve y>0 si

2

117 3,14

x> ×π et négatif sinon.

Ex 9 : On n’a le droit d’élever au carré que si l’inéquation de départ est positive !!

Ex 10 : On élève au carré, et on trouve 5 2 > 7. En revanche, pour la seconde, il y a un piège car le carré donne deux nombres égaux (via les identités remarquables), mais en regardant de plus près, ces deux nombres ne peuvent pas être égaux. En effet, 2 2-3 est négatif et

17-12 2 positif !!

Ex 11 : Il suffit de procéder à une expression conjuguée (seul véritable outil pour traiter les somme ou différence de valeurs absolues). On trouve

( ) ( )

1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 1

n n n n n n

n n

n n n n n n n n n n n n

+ − + − + −

= × = = = + −

− − − − + − − − × + − − −

Ainsi, ¹ _{1 1 1}

1 n n

n n − = + − −

− − est positif dès que n est plus grand que 1.

Ex 12 : On trouve 1 1 1

2 4

4 x 2

+ ≤ + ≤ +x , soit 9 1 9

4 x 2

≤ + ≤x . Ex 13 : On peut chercher une solution via la définition en posant

OU x-2=1 si x-2≥0

ce qui donne x=3.

-(x-2)=1 si x-2<0 Ce qui donne x=1.

Soit avec la réunion : ^{S =}

{ }

On peut aussi raisonner graphiquement : La condition se traduit par : « le x cherché doit être à une distance 1 du nombre 2 :

Avec | x+4 | = -2, il y a le piège classique de la valeur absolue strictement négative. Pas de solution.

Ex 14 : On a

(

)

Ex 15 : Comme souvent, il faut chercher les identités remarquables : 3 2 2+ = +(1 2)². Ainsi, ^{3 2 2+ − 3 2 2− =}

(

) (

)

(

)

Ex 16 : Encore une fois, l’interprétation graphique est plus rapide : On cherche un x tel que la distance à 4 soit plus petite que 3 :

On trouve donc l’intervalle [1 ;7].

Pour |x-4| > 3, il faut comprendre que les x cherchés sont à l’extérieur du domaine précédemment trouvé car on veut que la distance à 4 soit supérieure à 3. D’où l’ensemble des solutions : ^{S = −∞ ∪}

]

[ ]

[

Ex 17 : (Faites tous les dessins correspondants pour vous entraîner)

Traduction de |x+2|<4 : La distance à -2 (attention au signe) doit être inférieure stricte à 4.

Donc ^{S = −}

]

[

Pour |2x+4| 8 , on commence par tout diviser par 2 (qui est positif): |x+ ≥2 | 4 et on traduit par la recherche des x tels que la distance à -2 soit supérieure à 4, soit ^{S = −∞ ∪}

]

] [

[

Pour |x+10|=2, la distance à -10 doit être égale à 2, donc ^{S = −}

{

}

Et enfin 3>|1-x| 1 se traduit par : « la distance à 1 doit être entre 1 et 3 (stricte), soit^{S = −}

]

] [ [

Ex 18 : Celle-ci convient par exemple |x+1|<2.

Ex 19 : Pour résoudre |x-3|+|1-2x|=4, on fait donc un tableau de signe qui permet d’annihiler les valeurs absolues sans se préoccuper dans un premier temps du 4 :

On résout ensuite une équation par intervalle en n’oubliant de vérifier que la solution est bien dans le domaine considéré :

Si x≤ ¹₂, alors l’équation |x-3|+|1-2x|=4 devient 4-3x=4, ce qui donne x=0 qui est bien dans l’intervalle

]

]

Si ¹₂< ≤x 3, alors l’équation |x-3|+|1-2x|=4 devient x+2=4, ce qui donne x=2 qui est bien lui aussi dans l’intervalle

] ]

Si x>3, alors l’équation |x-3|+|1-2x|=4 devient 3x-4=4, ce qui donne x=⁸₃ qui n’est pas dans l’intervalle

]

[

D’où les solutions : ^S=

{ }

Ex 20 :

1. (2x-1)²=0, d’où 2x-1=0 et S={1

2}. 6. ( 3x+1)²<0 un carré étant toujours positif, il n’y a pas de solution. S=∅

2. Un carré étant toujours positif, S=∅. 7. 0>x²-2x+1 ⇔ 0>(x-1)² Un carré étant toujours positif, il n’y a pas de solution S=∅.

3. (2x+1)(2-x)=4x²-1 ⇔ (2x+1)(2-x)=(2x-1)(2x+1)

⇔ (2x+1)(2-x)-(2x+1)(2x-1)=0

⇔ (2x+1)((2-x)-(2x-1))=0

⇔ (2x+1)(3-3x)=0

8. |(x-5)(x+5)|=0 ⇔ (x-5)(x+5)=0 car |y|=0 ⇔ y=0 (propriété 2.I) Donc S={-5 ;5}.

x

−∞

+∞

0 0

0 0 1 2x−

1 2x− 3 x−

3 x− 3 1 2 x− + − x

- +

+

- -

- 1 2x−

3 x− 3 x−

3 x−

2x−1 2x−1

3x−4 2

x+ 4 3x−

⇔ 3(2x+1)(1-x)=0 d’où S={-1

2 ; 1}.

9. Si x-7 0 alors |x-7|=x-7=3 ⇔ x=10.

Si x-7 0 alors |x-7|= -(x-7)=3 ⇔ x=4.

Donc S={4;10}. (ou par résolution graphique) 4. x>2

3 donc S=]2

3 ;+∞[. 10. |x-9|=|8-x| ⇔ x-9=8-x ou x-9= -(8-x)

⇔ 2x=17 ou pas de solution.

Donc S={17 2}

11. Si 2-6x 0 alors |2-6x|=2-6x>5 ⇔ x<-1 2 Si 2-6x 0 alors |2-6x|=6x-2>5 ⇔ x>7

6 D’où S=]-∞ ;-1

2[ ∪ ]7

6 ;+∞[ . 5. Tableau de signe :

D’où S=[- 1 2 ; 1

3]. 12. Une valeur absolue étant toujours

positive, il n’y a pas de solutions. Ainsi, S=∅.

13. On a le tableau de valeur suivant qui nous amène à considérer trois intervalles :

a) Si x 1

2 alors on doit résoudre 3-6x

2-x >2 ⇔ 3-6x>2(2-x) ⇔ x< -1

4 donc S_a=]-∞ ; -1 4[ . Il est à noter que nous avons multiplié par (2-x) une inéquation sans en changer le sens car ce terme est strictement positif.

b) Si 1

2 x<2 alors on a 6x-3

2-x >2 ⇔ 6x-3>2(2-x) ⇔ x>7

8 donc S_b=]7 8 ;2[.

c) Si 2<x on doit résoudre 6x-3

x-2 >2 ⇔ 6x-3>2(x-2) ⇔ x>-1

4 et on a S_c=]2 ;+∞[

En conclusion, S= S_a ∪ Sb ∪ Sc=]-∞ ; -1 4[ ∪ ]7

8 ;2[∪]2 ;+∞[

Ex 21 : Les dernières pour les accros:

a) S=[3 ;+∞[; b) S=[8/7 ;6/5[; c) S={-2/3 ;1/2}; d) S=ℝ ; e) S={1 ;3}; f) S={2} ;

g)

]

[

S 2 

= −∞ − ∪ +∞ ; h) ^S=

[ ]

S  

= 

 

x

2x+1 1-3x (2x+1)(1-3x)

- ∞ -1 +∞

2 1 3

0 0 0

0 + +

+ +

+ _

_ _ _

x

|6x-3|

|2-x|

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