Définitions
Inégalité
• Si le nombre a est plus petit que le nombre b , on dit que a est inférieur à b . On note a b . (On note a b si a et b peuvent être égaux.)
• Si le nombre a est plus grand que le nombre b , on dit que a est supérieur
àb . On note a b . (On note a b si a et b peuvent être égaux.)
Exemples : − 7 − 5 et π 3
On ne change pas le sens d'une inégalité en
additionnant ou en soustrayant un même nombre à chacun de ses deux membres.
Exemple : − 7 − 5 donc − 7 2 − 5 2 et − 7 − 2 − 5 − 2
On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant
ou en divisant ses deux membres par un même nombre strictement positif.
Exemple : π 3 donc π × 5 3 × 5 et π
÷ 2 3 ÷ 2
On change le sens d'une inégalité en multipliant ou
en divisant ses deux membres par un même nombre strictement négatif.
Exemple : − 7 − 5 donc − 7 × (− 3) − 5 × (− 3) et − 7 ÷ (− 2) − 5 ÷ (− 2)
Inéquation
• Une inéquation est une inégalité comportant une ou plusieurs inconnues.
• Une solution d'une inéquation est un nombre pour lequel l'inégalité est vraie.
Exemples :
• − 2 est-il solution de 3 x 5 − 2 x − 8 ?
On calcule séparément chaque membre de l'inéquation en remplaçant x par − 2.
3 × (− 2) 5 = − 6 5 = − 1 Le membre de gauche a pour valeur − 1.
− 2 × (− 2) − 8 = 4 − 8 = − 4 Le membre de droite a pour valeur − 4.
− 1 − 4 donc − 2 n'est pas solution
de l'inéquation 3 x 5 − 2 x − 8. On conclut après avoir comparé les deux valeurs trouvées.
• − 2,6 est-il solution de 3 x 5 − 2 x − 8 ?
On calcule séparément chaque membre de l'inéquation en remplaçant x par − 2,6.
3 × (− 2,6) 5 = − 2,8
− 2 × (− 2,6) − 8 = − 2,8
Les deux valeurs trouvées sont identiques mais l'inégalité est stricte.
− 2,6 n'est pas solution de l'inéquation 3
x 5 − 2 x − 8
Inéquations • N3 47
17
Définitions
A
B
Propriété 1
Propriété 2
Propriété 3
Inégalité et inéquation
1
Méthode de résolution
Résoudre une inéquation, c'est déterminer, s'il en existe,
les nombres qui vérifient l'inégalité.
Exemple 1 : Résous cette inéquation d'inconnue x : 7 x − 3 2 x − 1.
7 x − 3 − 2 x 2 x − 1 − 2
x
5 x − 3 − 1
On soustrait 2 x
à chaque membre et on réduit.5 x − 3 3 − 1 3
5
x 2 On ajoute 3 à chaque membre et on réduit.
5 x
5
2
5x 2 5
On divise chaque membre par 5 qui est strictement positif, donc le sens de l'inégalité ne change pas.
Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 2 5 . Exemple 2 : Résous cette inéquation d'inconnue x : − 3 x − 8 x − 1.
− 4 x − 8 − 1 On soustrait x à chaque membre.
− 4 x 7 On ajoute 8 à chaque membre.