I – Inégalité de Markov – Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

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Chapitre IX : CONVERGENCES ET APPROXIMATIONS I – Inégalité de Markov – Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème 1 : Inégalité de Markov

Si est une variable aléatoire (discrète ou à densité) positive admettant une espérance, alors on a :

∀ > 0, ( ≥ ) ≤() Théorème 2 : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Si est une variable aléatoire (discrète ou à densité) admettant un moment d’ordre 2, alors on a :

∀ > 0, (| − ()| ≥ ) ≤ ()

Remarque 1 : L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev s’obtient en appliquant l’inégalité de Markov à la variable aléatoire − () et en remplaçant par .

En effet, la variable aléatoire − ()est positive et admet pour espérance − () = () par définition.

II – Loi faible des grands nombres Théorème 3 : Loi faible des grands nombres

Soit ()_∈ℕ^∗ une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé, indépendantes, admettant chacune une espérance et une variance .

Si lon pose = 1

& ' ⁽

()*

, alors on a ∶ ∀ > 0, lim_→01(2− 2 ≥ ) = 0

Remarque 2 :

• La loi faible des grands nombres est une conséquence directe de l’inégalité de Bienaymé- Tchebychev : on l’applique à la variable aléatoire admettant pour variance

= 1

&' (₍)

()*

= 1

&× & =

& .

On obtient ainsi : ∀ > 0, 0 ≤ (2− 2 ≥ ) ≤

&

Le résultat s’obtient par le théorème d’encadrement de limites (théorème des gendarmes).

• Ce théorème signifie, en quelque sorte, que la suite converge presque sûrement vers . Exemple 1 : Soit 9 un événement d’un espace probabilisé (Ω, ;, ). On considère une suite d’épreuves indépendantes. Pour & ∈ ℕ^∗, on note la variable de Bernoulli qui vaut 1 lorsque 9 est réalisé lors de la &^ème épreuve ; elle est de paramètre < = (9).

Alors > = ' ₍

()*

représente le nombre de réalisations de lévénement 9 lors des & premières

épreuves et = 1

& ' ⁽

()*

=>

& , la fréquence de réalisation de lévénement 9.

Cette fréquence a pour limite = < = (9) : la loi faible des grands nombres s’accorde avec l’intuition qui voit la probabilité d’un événement comme une fréquence.

2 III – Convergence en loi

1) Définitions Définition 1 :

Soit ()_∈ℕ une suite de variables aléatoires réelles définies sur (Ω, ;, ). Pour tout entier naturel &, on note G_HI la fonction de répartition de .

Soit une variable aléatoire définie également sur (Ω, ;, ) de fonction de répartition G_H. On dit que la suite ()_∈ℕ converge en loi vers si, en tout réel J où G_H est continue, on a :

→01lim G_HI(J) = G_H(J) On note : → ^ℒ

Exemple 2 : Pour tout & ∈ ℕ^∗, suit la loi uniforme sur l’intervalle L−^*;^*N. Sa fonction de répartition est définie par :

∀J ∈ ℝ, G_HI(J) =

PQ QQ R QQ

QS 0 si J < −1

&

J − −1&

1& −−1

&

= &

2 J +1

2 si J ∈ W−1

& ;1

&X

1 si J >1

&

Y

Si J est un réel strictement négatif, alors pour & assez grand, J < −^* et donc G_HI(J) = 0 On en déduit que lim_→01G_HI(J) = 0.

De même, si J est un réel strictement positif, alors pour & assez grand, J >^* et donc G_HI(J) = 1 On en déduit que lim_→01G_HI(J) = 1.

On en déduit que la suite ()_∈ℕ^∗ converge en loi vers la variable aléatoire certaine égale à 0.

En effet, la fonction de répartition de la variable aléatoire certaine égale à 0 est définie par G_H(J) = 0 si J < 0 et G_H(J) = 1 si J > 0. Elle présente une discontinuité en 0, donc le calcul de la limite de G_HI(J) pour J = 0 n’est pas nécessaire d’après la définition 1.

Théorème 4 : Caractérisation des variables aléatoires à valeurs entières

Soit ()_∈ℕ une suite de variables aléatoires réelles discrètes et une variable aléatoire réelle discrète telles que, pour tout entier &, (Ω) ⊂ ℤ et (Ω) ⊂ ℤ.

Dans ces conditions, la suite ()_∈ℕ converge en loi vers si, et seulement si :

∀\ ∈ ℤ, lim_→01( = \) = ( = \)

Théorème 5 : Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson Soit ] un réel strictement positif.

Si ()_∈ℕ^∗ est une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω, ;, )et telles que, pour tout entier naturel & non nul et supérieur à ], suit la loi binomiale ℬ _&;^`a, alors la suite ()_∈ℕ^∗ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre ].

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Remarque 3 : suit la loi binomiale ℬ _&;^`a se traduit par : pour tout entier naturel \ ∈ b0; &c, ( = \) = _&\ad]

&e

(d1 −]

&e

f( =]⁽

\! × &!

&⁽(& − \)! h(f() ijd*f`e

=]⁽

\! ×&(& − 1) … (& − \ + 1)

&⁽ h(f() ijd*f`e

Au voisinage de + ∞, &(& − 1) … (& − \ + 1) ~ &⁽ donc &(& − 1) … (& − \ + 1)

&⁽ ~ 1 De plus ln d1 −]

&e ~ −]

& car −]

& → 0 et donc (& − \) ln d1 −]

&e ~ −](& − \)

& ~ − ] Ainsi : lim_→01]⁽

\! ×&(& − 1) … (& − \ + 1)

&⁽ h(f()ijd*f`e =]⁽

\! h^f`

On a bien : lim_→01 ( = \) = ( = \)où suit la loi de Poisson de paramètre ].

Remarque 4 :

• Dans une urne contenant des boules jaunes ou bleues, la proportion de boules jaunes étant <, on tire & boules au hasard avec remise. Si < est proche de 0 et & assez grand, la variable

aléatoire égale au nombre de boules jaunes tirées suivra approximativement une loi de Poisson de paramètre &<. On dit que la loi de Poisson est la loi des « événements rares ».

• En pratique, dès que r ≥ st et u ≤ t, v, on considère qu’on peut approcher la loi binomiale de paramètres & et < par la loi de Poisson de paramètre ] = &<. On rajoute également la

contrainte ru ≤ vw car les tables usuelles de lecture de la loi de Poisson ne dépassent pas la valeur ] = 15.

• Cette approximation permet de remplacer une loi dépendant de deux réels & et < par une loi ne dépendant que d’un réel ].

Exemple 3 : Soit une variable binomiale de paramètres 100 et 0,05.

On cherche à calculer ( = 2). Calcul exact :

( = 2) = _1002 a (0,05)(0,95)^z{ = 4 950 × 0,0025 × 0,98^z{ ≈ 0,0812 Calcul approché :

& = 100 ≥ 30, < = 0,05 ≤ 0,1 et &< = 5 ≤ 15 : nous sommes dans les conditions d’approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson. On approche la loi ℬ(100; 0,05) par la loi €(] = 5).

( = 2) ≈ h^f5

2! ≈ 0,0843 2) Théorème limite central Théorème 6 : Théorème limite central

Soit ()_∈ℕ^∗ une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé indépendantes et de même loi, admettant chacune une espérance et une variance . Si lon pose = 1

& ' ⁽

()*

et ^∗ =−

‚ = √& −

la variable centrée réduite associée à , alors la suite des variables aléatoires _^∗a converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.

4 Remarque 5 :

• Dans les conditions de ce théorème, on a donc pour tout (, …) tel que −∞ ≤ ≤ … ≤ +∞,

→01lim ( ≤ ^∗ ≤ …) = † 1

√2‡h^fˆ‰Š‹

Œ

• Ce théorème est remarquable : avec peu d’hypothèses, on obtient un résultat très fort. Il met en 

évidence le rôle central joué par la loi de Laplace-Gauss en probabilités et en statistiques.

3) Approximations

Théorème 7 : Approximation de la loi binomiale par la loi normale Soit & un entier naturel non nul et < ∈ Ž0; 1. On note  = 1 − <.

On approche la loi ℬ(&; <) par la loi ‘(&<, &<) dès que & ≥ 30 et < très proche de 0,5 ce qui se traduit en général par &< ≥ 5 et & ≥ 5.

Exemple 4 :

Soit une variable binomiale de paramètres 900 et 0,5.

On cherche à calculer (420 ≤ ≤ 480).

Le calcul avec les formules exactes nécessiterait l’utilisation d’un logiciel et donnerait de toute façon un résultat approché.

& = 900 ≥ 30, &< = & = 450 ≥ 5 ∶ nous sommes dans les conditions d’approximation de la loi binomiale par la loi normale. On approche la loi ℬ(900; 0,5) par la loi ‘(450; 225 = 15).

La variable “ = − 450

15 suit approximativement la loi normale centrée réduite.

(420 ≤ ≤ 480) = (−2 ≤ “ ≤ 2) ≈ 2•(2) − 1 ≈ 2 × 0,9772 − 1 ≈ 0,9544

Théorème 8 : Approximation de la loi de Poisson par la loi normale Soit ] un réel strictement positif.

On approche la loi €(]) par la loi ‘(], ]) dès que ] ≥ 15. Exemple 5 :

Soit une variable de Poisson de paramètre 16.

On cherche à calculer ( ≤ 21).

] = 16 ≥ 15 ∶ nous sommes dans les conditions d’approximation de la loi de Poisson par la loi normale. On approche la loi €(16) par la loi ‘(16; 16 = 4).

La variable “ = − 16

4 suit approximativement la loi normale centrée réduite.

( ≤ 21) = (“ ≤ 1,25) ≈ •(1,25) ≈ 0,8943.